જો $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને $q^{\frac{1}{x}}=k^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{2}},$ તો સાબિત કરો કે $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
જો $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને $q^{\frac{1}{x}}=k^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{2}},$ તો સાબિત કરો કે $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
Let $a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}=k$ Then
$a=k^{x}, b=k^{y}$ and $c=k^{z}$ .........$(1)$
Since $a, b, c$ are in $G.P.,$ therefore,
$b^{2}=a c$ ..........$(2)$
Using $(1)$ in $(2),$ we get
$k^{2 y}=k^{x+z},$ which gives $2 y=x+z$
Hence, $x, y$ and $z$ are in $A.P.$
Similar Questions
$A$ અને $G$ એ સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક દર્શાવે અને $x^2 - 2Ax + G^2 = 0$ હોય, તો ….
$A$ અને $G$ એ સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક દર્શાવે અને $x^2 - 2Ax + G^2 = 0$ હોય, તો ….
જો બે ધન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક અને સ્વરીત મધ્યકનો સરવાળો $25 $ હોય અને તેમનો સમગુણોત્તર મધ્યક $12$ હોય, તો સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય ?
જો બે ધન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક અને સ્વરીત મધ્યકનો સરવાળો $25 $ હોય અને તેમનો સમગુણોત્તર મધ્યક $12$ હોય, તો સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય ?
જો શ્રેણી $-16,8,-4,2, \ldots$ ના $p$ માં અને $q$ માં પદોનો સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યક સમીકરણ $4 x^{2}-9 x+5=0$ નું સમાધાન કરે, તો $p+q=...... .$
જો શ્રેણી $-16,8,-4,2, \ldots$ ના $p$ માં અને $q$ માં પદોનો સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્તર મધ્યક સમીકરણ $4 x^{2}-9 x+5=0$ નું સમાધાન કરે, તો $p+q=...... .$
- [JEE MAIN 2021]
સમગુણોત્તર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદોનો ગુણાકાર $512$ છે. જો પહેલા અને બીજા પદમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે તો ત્રણેય સમાંતર શ્રેણીમાં થાય છે તો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં રહેલા ત્રણેય પદોનો સરવાળો મેળવો.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદોનો ગુણાકાર $512$ છે. જો પહેલા અને બીજા પદમાં $4$ ઉમેરવામાં આવે તો ત્રણેય સમાંતર શ્રેણીમાં થાય છે તો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં રહેલા ત્રણેય પદોનો સરવાળો મેળવો.
- [JEE MAIN 2019]
અહી $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત $-3$ છે અને $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots, \mathrm{b}_{10}$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય ગુણોતર $2$ છે. અને $c_{k}=a_{k}+b_{k}, k=1,2, \ldots, 10 $ છે. જો $c_{2}=12$ અને $\mathrm{c}_{3}=13$ હોય તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}$ ની કિમંત મેળવો. .
અહી $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત $-3$ છે અને $\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots, \mathrm{b}_{10}$ એ સમગુણોતર શ્રેણીમાં છે કે જેનો સામાન્ય ગુણોતર $2$ છે. અને $c_{k}=a_{k}+b_{k}, k=1,2, \ldots, 10 $ છે. જો $c_{2}=12$ અને $\mathrm{c}_{3}=13$ હોય તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}$ ની કિમંત મેળવો. .
- [JEE MAIN 2021]