જો $a, b, c$, અને $ p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\, \leq \,0,$ તો બતાવો કે $a, b, c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Given that

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \,\leq \,0$       .........$(1)$

But $L.H.S.$

$=\left(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2}\right)+\left(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2}\right)+\left(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}\right)$

which gives $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}\, \geq \,0$          ..........$(2)$

Since the sum of squares of real numbers is non negative, therefore, from $(1)$ and $(2),$

we have, $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

or $a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0$

This implies that $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

Hence $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

Similar Questions

જો $a = r + r^2 + r^3 + …..+\infty$ હોય તો $r$ નું મૂલ્ય ....... છે.

સમીકરણ $x^2 - 18x + 9 = 0$ ઉકેલો વચ્ચેનો સમગુણોત્તર મધ્યક કયો હશે ?

જો  $x > 1,\;y > 1,z > 1$  એ સમગુણોતર શ્નેણીમાં હોયતો $\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,x}},\;\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,y}},$ $\;\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,z}}$ એ _______ માં છે.

  • [IIT 1998]

જેનું પ્રથમ પદ $n ^{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{( n +1)^{2}}$ હોય તેવી અનંત સમગુણોતર શ્રેણીનો સરવાળો ધારો કે $S _{ n }$ છે, જ્યાં $n =1,2, \ldots \ldots, 50$ તો, $\frac{1}{26}+\sum_{ n =1}^{50}\left( S _{ n }+\frac{2}{ n +1}- n -1\right)$ ની કીમત................છે

  • [JEE MAIN 2022]

સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $3$ પદોનો સરવાળો $16$ છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો $128$ છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.