જો $a, b, c$, અને $ p$ ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\, \leq \,0,$ તો બતાવો કે $a, b, c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Given that

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \,\leq \,0$       .........$(1)$

But $L.H.S.$

$=\left(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2}\right)+\left(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2}\right)+\left(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}\right)$

which gives $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}\, \geq \,0$          ..........$(2)$

Since the sum of squares of real numbers is non negative, therefore, from $(1)$ and $(2),$

we have, $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

or $a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0$

This implies that $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

Hence $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

Similar Questions

$0.\mathop {423}\limits^{\,\,\,\, \bullet \,\,\, \bullet \,}  = $

  • [IIT 1973]

ધારો કે $\left\langle a_n\right\rangle$ એવી એક શ્રેણી છે કે જેથી $a_0=0, a_1=\frac{1}{2}$ અને $2 a_{n+2}=5 a_{n+1}-3 a_n, n=0,1,2,3, \ldots \ldots$. તો  $\sum_{k=1}^{100} a_k$ _______

  • [JEE MAIN 2025]

એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ત્રીજું પદ $24$ અને છઠું પદ $192$ છે તો તેનું $10$ મું પદ શોધો.

$7, 7^2, 7^3, ….7^n $ નો સમગુણોત્તર મધ્યક ..... છે.

સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને $n$ મું પદ છે. જો $n$ પદોનો ગુણાકાર $P$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P^{2}=(a b)^{n}$