જો વિધેય $f(x+y)=f(x) f(y)$ for all $x, y \in N$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય કે જેથી, $f(1)=3$ અને $\sum\limits_{x = 1}^n {f\left( x \right) = 120,} $ તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
જો વિધેય $f(x+y)=f(x) f(y)$ for all $x, y \in N$ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય કે જેથી, $f(1)=3$ અને $\sum\limits_{x = 1}^n {f\left( x \right) = 120,} $ તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.
It is given that,
$f(x+y)=f(x) \times f(y)$ for all $x, y \in N$ .....$(1)$
$f(1)=3$
Taking $x=y=1$ in $(1)$
We obtain $f(1+1)=f(2)=f(1) f(1)=3 \times 3=9$
Similarly,
$f(1+1+1)=f(3)=f(1+2)=f(1) f(2)=3 \times 9=27$
$f(4)=f(1+4)=f(1) f(3)=3 \times 27=81$
$\therefore f(1), f(2), f(3), \ldots \ldots,$ that is $3,9,27, \ldots \ldots,$ forms a $G.P.$ with both the first term and common ratio equal to $3 .$
It is known that, $S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
It is given that, $\sum\limits_{x = 1}^n {f\left( x \right) = 120,} $
$\therefore 120=\frac{3\left(3^{n}-1\right)}{3-1}$
$\Rightarrow 120=\frac{3}{2}\left(3^{n}-1\right)$
$\Rightarrow 3^{n}-1=80$
$\Rightarrow 3^{n}=81=3^{4}$
$\therefore n=4$
Thus, the value of $n$ is $4$
Similar Questions
નીચેનામાંથી ક્યુ સાચુ છે ?
નીચેનામાંથી ક્યુ સાચુ છે ?
જો $f(x)$ એ દ્રીઘાત સમીકરણ છે કે જેથી $f(1) + f (2)\, = 0$ , અને $-1$ એ $f(x)\, = 0$ નું એક બીજ હોય તો $f(x)\, = 0$ નું બીજું બીજ મેળવો.
જો $f(x)$ એ દ્રીઘાત સમીકરણ છે કે જેથી $f(1) + f (2)\, = 0$ , અને $-1$ એ $f(x)\, = 0$ નું એક બીજ હોય તો $f(x)\, = 0$ નું બીજું બીજ મેળવો.
- [JEE MAIN 2018]
વિધાન $1$ : જો $A$ અને $B$ બે ગણ છે કે જે અનુક્રમે $p$ અને $q$ ઘટકો ધરાવે છે કે જ્યાં $q > p$ તો $A$ થી $B$ પરના વિધેય ની સંખ્યા $q^p$ થાય .
વિધાન $2$ : $q$ વસ્તુમાંથી $p$ ભિન્ન વસ્તુ પસંદગી ${}^q{C_p}$ થાય.
વિધાન $1$ : જો $A$ અને $B$ બે ગણ છે કે જે અનુક્રમે $p$ અને $q$ ઘટકો ધરાવે છે કે જ્યાં $q > p$ તો $A$ થી $B$ પરના વિધેય ની સંખ્યા $q^p$ થાય .
વિધાન $2$ : $q$ વસ્તુમાંથી $p$ ભિન્ન વસ્તુ પસંદગી ${}^q{C_p}$ થાય.
- [AIEEE 2012]
ધારો કે $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ એ નીચે આપેલ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે.
$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 $ તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\sin (\mathrm{k}) \sin (\mathrm{k}+\mathrm{f}(\mathrm{k}))}$ ની કિમંત મેળવો.
ધારો કે $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ એ નીચે આપેલ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે.
$f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y), f\left(\frac{1}{2}\right)=-1 $ તો $\sum_{\mathrm{k}=1}^{20} \frac{1}{\sin (\mathrm{k}) \sin (\mathrm{k}+\mathrm{f}(\mathrm{k}))}$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
અહી $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ એ $3$ ઘાતાંક વાળી બહુપદી છે કે જેથી $\mathrm{k}=2,3,4,5 $ માટે $\mathrm{f}(\mathrm{k})=-\frac{2}{\mathrm{k}}$ થાય છે તો $52-10 \mathrm{f}(10)$ ની કિમંત મેળવો.
અહી $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ એ $3$ ઘાતાંક વાળી બહુપદી છે કે જેથી $\mathrm{k}=2,3,4,5 $ માટે $\mathrm{f}(\mathrm{k})=-\frac{2}{\mathrm{k}}$ થાય છે તો $52-10 \mathrm{f}(10)$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]