यदि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
It is given that $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$
$\therefore b^{2}=a c$ ........$(1)$
$c^{2}=b d$ ........$(2)$
$a d=b c$ ........$(3)$
It has to be proved that $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$ i.e.,
$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$
Consider $L.H.S.$
$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=b^{2 n}+2 b^{n} c^{n}+c^{2 n}$
$=\left(b^{2}\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(c^{2}\right)^{n}$
$=(a c)^{n}+2 b^{n} c^{n}+(b d)^{n}$ [ Using $(1)$ and $(2)$ ]
$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} d^{n}$
$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+a^{n} d^{n}+b^{n} d^{n}$ [ Using $(3)$ ]
$=c^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)+d^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)$
$=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)=$ $\mathrm{R.H.S.}$
$\therefore\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$
Thus, $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),$ and $\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$
यदि एक समान्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग उसके प्रथम $m$ पदों के योग के बराबर हो $(m \ne n)$, तो उसके $(m + n)$ पदों का योग होगा
भिन्न $A.P.$ बनाई गई हैं, जिनके प्रथम पद $100$ , अंतिम पद $199$ तथा सार्व अंतर पुर्णांक हैं। इस प्रकार की सभी $A.P.$, जिनमें कम से कम $3$ पद तथा अधिक से अधिक $33$ पद हैं, के सार्व अंतरों का योगफल है
श्रेणी $( - 8 + 18i),\,( - 6 + 15i),$ $( - 4 + 12i)$ $,......$ का कौन सा पद शुद्ध अधिकल्पित संख्या है
$1$ व $100$ के बीच के उन सभी पूर्णाकों का योगफल जो कि $3$ व $5$ से विभाजित न हों
किसी समांतर श्रेणी का $p$ वाँ पद $\frac{1}{q}$ तथा $q$ वाँ पद $\frac{1}{p}$, हो तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम $p q$ पदों का योग $\frac{1}{2}(p q+1)$ होगा जहाँ $p \neq q$