यदि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
It is given that $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$
$\therefore b^{2}=a c$ ........$(1)$
$c^{2}=b d$ ........$(2)$
$a d=b c$ ........$(3)$
It has to be proved that $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$ i.e.,
$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$
Consider $L.H.S.$
$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=b^{2 n}+2 b^{n} c^{n}+c^{2 n}$
$=\left(b^{2}\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(c^{2}\right)^{n}$
$=(a c)^{n}+2 b^{n} c^{n}+(b d)^{n}$ [ Using $(1)$ and $(2)$ ]
$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} d^{n}$
$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+a^{n} d^{n}+b^{n} d^{n}$ [ Using $(3)$ ]
$=c^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)+d^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)$
$=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)=$ $\mathrm{R.H.S.}$
$\therefore\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$
Thus, $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),$ and $\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$
समान्तर श्रेढ़ी $b _{1}, b _{2}, \ldots, b _{ m }$ का सार्वअन्तर, समान्तर श्रेढ़ी $a _{1}, a _{2}, \ldots, a _{ n }$ के सार्वअन्तर से $2$ अधिक है यदि $a _{40}=- 159$, $a _{100}=-399$ तथा $b _{100}= a _{70}$, तो $b _{1}$ बराबर है
मान लें कि प्राकृत संख्याएँ $a, b, c, d, e$ एक अंकगणितीय श्रेढ़ी $(arithmetic\,\,progression)$ में इस प्रकार हैं कि $a+b+c+d+e$ एक पूर्णांक का घन $(cube)$ है तथा $b+c+d$ एक पूर्णांक का वर्ग है। तब $c$ संख्या में न्यूनतम अंक का मान है
माना एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम $\mathrm{n}$ पदों का योग $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ है। यदि $\mathrm{S}_{20}=790$ तथा $\mathrm{S}_{10}=145$ है, तो $\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5$ बराबर है :
यदि किसी समांतर श्रेणी का $9$ वाँ पद शून्य हो, तो उसके $29$ वें तथा $19$ वें पदों का अनुपात है
दो समान्तर श्रेणियों के $n$ पदों के योग का अनुपात $(7n + 1):(4n + 27)$ है, तो इनके $11$ वें पदों का अनुपात होगा