यदि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is given that $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

$\therefore b^{2}=a c$       ........$(1)$

$c^{2}=b d$       ........$(2)$

$a d=b c$       ........$(3)$

It has to be proved that $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$ i.e.,

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$

Consider $L.H.S.$

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=b^{2 n}+2 b^{n} c^{n}+c^{2 n}$

$=\left(b^{2}\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(c^{2}\right)^{n}$

$=(a c)^{n}+2 b^{n} c^{n}+(b d)^{n}$            [ Using $(1)$ and $(2)$ ]

$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} d^{n}$

$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+a^{n} d^{n}+b^{n} d^{n}$         [ Using $(3)$ ]

$=c^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)+d^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)$

$=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)=$ $\mathrm{R.H.S.}$

$\therefore\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$

Thus, $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),$ and $\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$

Similar Questions

यदि $2x,\;x + 8,\;3x + 1$ समान्तर श्रेणी में हैं, तो $x$ का मान होगा

यदि ${a_1},\;{a_2},\,{a_3},......{a_{24}}$ समान्तर श्रेणी में हैं तथा  ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$, तो ${a_1} + {a_2} + {a_3} + ........ + {a_{23}} + {a_{24}} = $

यदि किसी समान्तर श्रेणी का $p$ वाँ पद $\frac{1}{q}$ और $q$ वाँ पद $\frac{1}{p}$ है, तो इसके $pq$ पदों का योग होगा

दो समांतर श्रेढ़ियों के $n$ पदों के योगफल का अनुपात $(3 n+8):(7 n+15)$ है। $12$ वें पद का अनुपात ज्ञात कीजिए।

माना $r = 1,\;2,\;3,....$ के लिये एक समान्तर श्रेणी का $r$ वाँ पद ${T_r}$ है। यदि किन्हीं धनात्मक पूर्णांकों $m,\;n$ के  लिये ${T_m} = \frac{1}{n}$ और ${T_n} = \frac{1}{m}$ हों, तो ${T_{mn}}$ का मान होगा

  • [IIT 1998]