यदि sum_{ k =1}^{31}left({ }^{31} C _{ k }rig | vedclass

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Question

$\sum\limits_{ R =1}^{31}{ }^{31} C _{ R } \cdot{ }^{31} C _{ R -1}$

$={ }^{31} C _{1} \cdot{ }^{31} C _{0}+{ }^{31} C _{2} \cdot{ }^{31} C _{1}+\l

Vedclass · Accepted Answer

$1411$

Vedclass · Answer

$\sum\limits_{ R =1}^{31}{ }^{31} C _{ R } \cdot{ }^{31} C _{ R -1}$

$={ }^{31} C _{1} \cdot{ }^{31} C _{0}+{ }^{31} C _{2} \cdot{ }^{31} C _{1}+\ldots .+{ }^{31} C _{31} \cdot{ }^{31} C _{30}$

$={ }^{31} C _{0} \cdot{ }^{31} C _{30}+{ }^{31} C _{1} \cdot{ }^{31} C _{29}+\ldots .+{ }^{31} C _{30} \cdot{ }^{31} C _{0}$

$={ }^{62} C _{30} \cdot$

Similarly

$\sum\limits_{ R =1}^{30}\left({ }^{30} C _{ R } \cdot{ }^{30} C _{ R -1}ight)={ }^{60} C _{29}$

${ }^{62} C _{30}-{ }^{60} C _{29}=\frac{62 !}{30 ! 32 !}-\frac{60 !}{29 ! 31 !}$

$=\frac{60 !}{29 ! 31 !}\left\{\frac{62 \cdot 61}{30 \cdot 32}-1ight\}$

$=\frac{60 !}{30 ! 31 !}\left(\frac{2822}{32}ight)$

$	herefore 16 \alpha=16 	imes \frac{2822}{32}=1411$

यदि $\sum_{ k =1}^{31}\left({ }^{31} C _{ k }\right)\left({ }^{31} C _{ k -1}\right)-\sum_{ k =1}^{30}\left({ }^{30} C _{ k }\right)\left({ }^{30} C _{ k -1}\right)=\frac{\alpha(60 !)}{(30 !)(31 !)}$ जहाँ $\alpha \in R$, तब $16 \alpha$ का मान होगा ?

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${(1 + x - 3{x^2})^{3148}}$ के विस्तार में गुणांकों का योगफल होगा

$-{ }^{15} C _{1}+2 \cdot{ }^{15} C _{2}-3 \cdot{ }^{15} C _{3}+\ldots .-15 \cdot{ }^{15} C _{15}+{ }^{14} C _{1}+$ ${ }^{14} C _{3}+{ }^{14} C _{5}+\ldots .+{ }^{14} C _{11}$ का मान है

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