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$\frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + .....$ का मान है
$\frac{{{2^n} - 1}}{{n + 1}}$
$n{.2^n}$
$\frac{{{2^n}}}{n}$
$\frac{{{2^n} + 1}}{{n + 1}}$
Solution
हम जानते हैं कि
$\frac{{{{(1 + x)}^n} – {{(1 – x)}^n}}}{2} = {C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + ….$
$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर,
$\frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\{ {{(1 + x)}^n} – {{(1 – x)}^n}\} \,} dx$
$ = \int\limits_0^1 {({C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + ….)} dx$
$\frac{1}{2}\left\{ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + \frac{{{{(1 – x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right\}_0^1 = \frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + ….$
या $\frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + …. = \frac{1}{2}\left\{ {\frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}} + \frac{{0 – 1}}{{n + 1}}} \right\}$
$ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{2^{n + 1}} – 2}}{{n + 1}}} \right) = \frac{{{2^n} – 1}}{{n + 1}}$
