frac{{{C_1}}}{2} + frac{{{C_3}}}{4} + frac{{{ | vedclass

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Question

हम जानते हैं कि

$\frac{{{{(1 + x)}^n} - {{(1 - x)}^n}}}{2} = {C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + ....$

$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर,

$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{{2^n} - 1}}{{n + 1}}$

Vedclass · Answer

हम जानते हैं कि

$\frac{{{{(1 + x)}^n} - {{(1 - x)}^n}}}{2} = {C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + ....$

$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर,

$\frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\{ {{(1 + x)}^n} - {{(1 - x)}^n}\} \,} dx$

$ = \int\limits_0^1 {({C_1}x + {C_3}{x^3} + {C_5}{x^5} + ....)} dx$

$\frac{1}{2}\left\{ {\frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + \frac{{{{(1 - x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right\}_0^1 = \frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + ....$

या $\frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + .... = \frac{1}{2}\left\{ {\frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} + \frac{{0 - 1}}{{n + 1}}} \right\}$

 $ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{2^{n + 1}} - 2}}{{n + 1}}} \right) = \frac{{{2^n} - 1}}{{n + 1}}$

$\frac{{{C_1}}}{2} + \frac{{{C_3}}}{4} + \frac{{{C_5}}}{6} + .....$ का मान है

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यदि $\left({ }^{30} \mathrm{C}_1\right)^2+2\left({ }^{30} \mathrm{C}_2\right)^2+3\left({ }^{30} \mathrm{C}_3\right)^2+\ldots \ldots .$. $30\left({ }^{30} \mathrm{C}_{30}\right)^2=\frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}$, है, तो $\alpha \cdot$ बराबर है :

${C_1} + 2{C_2} + 3{C_3} + 4{C_4} + .... + n{C_n} = $

माना $\alpha=\sum_{k=0}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\left({ }^n C_k\right)^2}{k+1}\right)$ तथा $\beta=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{{ }^n C_k{ }^n C_{k+1}}{k+2}\right)$ हैं। यदि $5 \alpha=6 \beta$ हैं, तो $\mathrm{n}$ बराबर है ............