मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए
$z=-\sqrt{3}+i$
मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए
$z=-\sqrt{3}+i$
$z=-\sqrt{3}+i$
Let $r \cos \theta=-\sqrt{3}$ and $r \sin \theta=1$
On squaring and adding, we obtain
$r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta=(-\sqrt{3})^{2}+1^{2}$
$\Rightarrow r^{2}=3+1=4 \quad\left[\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta=1\right]$
$\Rightarrow r=\sqrt{4}=2 \quad[\text { Conventionally }, r>0]$
$\therefore$ Modulus $=2$
$\therefore 2 \cos \theta=-\sqrt{3}$ and $2 \sin \theta=1$
$\Rightarrow \cos \theta=\frac{-\sqrt{3}}{2}$ and $\sin \theta=\frac{1}{2}$
$\therefore \theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$ [As $\theta$ lies in the $II$ quadrant]
Thus, the modulus an argument of the complex number $-\sqrt{3}+i$ are $2$ and $\frac{5 \pi}{6}$ respectively.
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यदि ${z_1}$ तथा ${z_2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं तब $|{z_1} - {z_2}|$
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माना सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ का समुच्चय $S$ है जो $\left|z^2+z+1\right|=1$ को संतुष्ट करता है। तब निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे?
$(A)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{2}$ होगा।
$(B)$ सभी $z \in S$ के लिये $| z | \leq 2$ होगा।
$(C)$ सभी $z \in S$ के लिये $\left| z +\frac{1}{2}\right| \geq \frac{1}{2}$ होगा।
$(D)$ समुच्चय $S$ में ठीक चार अवयव होंगे।
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- [IIT 2020]
$\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी ज्ञात कीजिए।
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यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $|z| \geq 2$ है, तो $\mid z+\frac{1}{2} \mid$ का न्यूनतम मान:
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- [JEE MAIN 2014]
किसी शून्येत्तर (non-zero) सम्मिश्र संख्या (complex number) $z$ के लिये, माना कि $\arg (z)$ इसके मुख्य कोणांक (principal argument) को दर्शाता है, जहाँ - $\pi<\arg (z) \leq \pi \mid$ तब निम्नलिखित में से कौन सा
(से) कथन असत्य है (हैं)?
$(A)$ $\arg (-1-i)=\frac{\pi}{4}$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$
$(B)$ फलन (function) $f: R \rightarrow(-\pi, \pi]$, जो सभी $t \in R$ के लिये $f(t)=\arg (-1+i t)$ के द्वारा परिभाषित है, $R$ के सभी बिंदुओं पर संतत (continuous) है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$
$(C)$ किन्ही भी दो शून्येत्तर सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)-\arg \left(z_1\right)+\arg \left(z_2\right)$
$2 \pi$ का एक पूर्णांक गुणज (integer multiple) है
$(D)$ किन्ही भी तीन दी गयी भिन्न (distinct) सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ और $z_3$ के लिये, प्रतिबंध (condition) $\arg \left(\frac{\left(z-z_1\right)\left(z_2-z_3\right)}{\left(z-z_3\right)\left(z_2-z_1\right)}\right)=\pi$, को संतुष्ट करने वाले बिंदु $z$ का बिंदुपथ (locus) एक सरल रेखा (straight line) पर स्थित है
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- [IIT 2018]