જો {z_1} = a + ib અને {z_2} = c + id એ સંકર સ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(d)Since $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$, we have

${z_1} = \cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1},{z_2} = \cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2}$

where ${

Vedclass · Accepted Answer

ઉપરોક્ત બધાજ

Vedclass · Answer

(d)Since $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$, we have

${z_1} = \cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1},{z_2} = \cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2}$

where ${	heta _1} = arg({z_1})$ and ${	heta _2} = arg({z_2})$

Also, ${z_1} = a + ib$ and ${z_2} = c + id.$

Therefore$a = \cos {	heta _1}$,$b = \sin {	heta _1},c = \cos {	heta _2}$ and $d = \sin {	heta _2}$

Also, $R({z_1}{\overline z _2}) = 0$

==> $R[(\cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1})(\cos {	heta _2} - i\sin {	heta _2})] = 0$

==> $R[(\cos ({	heta _1} - {	heta _2}) + i\sin ({	heta _1} - {	heta _2})] = 0$

==> $\cos ({	heta _1} - {	heta _2}) = 0$

==> ${	heta _1} - {	heta _2} = \frac{\pi }{2}$

==> ${	heta _1} = {	heta _2} + \frac{\pi }{2}$

Now, ${w_1} = a + ic = \cos {	heta _1} + i\cos {	heta _2}$$ = \cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1}$

==> $|{w_1}| = 1$

Similarly, $|{w_2}| = 1$

Next ${w_1}{\overline w _2} = (\cos {	heta _1} + i\sin {	heta _1})(\cos {	heta _2} - i\sin {	heta _2})$

$ = \cos ({	heta _1} - {	heta _2}) + i\sin ({	heta _1} - {	heta _2})$

==> $|{w_1}{\overline w _2}| = 1$

Finally, $R({\overline w _1}{w_2}) = R({w_2}{\overline w _1})$

$ = R[(\cos {	heta _2} + i\sin {	heta _2})(\cos {	heta _1} - i\sin {	heta _1})]$

$ = R[\cos ({	heta _2} - {	heta _1}) + i\sin ({	heta _2} - {	heta _1})]$

$ = \cos ({	heta _2} - {	heta _1}) = \cos \left( {\frac{{ - \pi }}{2}} ight) = 0$

Similar Questions

જો $z_1$ અને $z_2$ એવી સંકર સંખ્યા કે જેથી $3\left| {{z_1}} \right| = 4\left| {{z_2}} \right|$ થાય. તો $z = \frac{{3{z_1}}}{{2{z_2}}} + \frac{{2{z_2}}}{{3{z_1}}}$ ની કિમત મેળવો.

$\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}$ નો માનાંક શોધો.

જો $z $ એ એકમ માંનાક અને $\theta $ કોણાંક ધરાવતી સંકર સંખ્યા હોય,તો ${\rm{arg}}\left( {\frac{{1 + z}}{{1 + \bar {\; z\;}}}} \right)$ મેળવો.

જો $z_1$ અને $z_2$ એ એવી બે સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $|z_1 + z_2|$ = $1$ અને $\left| {z_1^2 + z_2^2} \right|$ = $25$ થાય તો $\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|$ ની ન્યૂનતમ કિમત મેળવો

જો $z$ એ સંકર સંખ્યા છે કે જેથી ${z^2} = {(\bar z)^2} $ તો . . .