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4-1.Complex numbers
medium
यदि ${z_1},{z_2}$एवं ${z_3}$तीन सम्मिश्र संख्याऐं इस प्रकार हैं कि $|{z_1}|\, = \,|{z_2}|\, = \,|{z_3}|\, = $$\left| {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}} \right| = 1\,,$ तब${\rm{ }}|{z_1} + {z_2} + {z_3}|$ का मान है
A
एक के बराबर
B
एक से कम
C
तीन से अधिक
D
तीन के बराबर
(IIT-2000)
Solution
(a) $1 = \left| {\frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} + \frac{1}{{{z_3}}}} \right|$$ = \left| {\frac{{{z_1}{{\bar z}_1}}}{{{z_1}}} + \frac{{{z_2}{{\bar z}_2}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_3}{{\bar z}_3}}}{{{z_3}}}} \right|$
$(\because \,\,\,|{z_1}{|^2} = 1 = {z_1}{\overline z _1},{\text{etc}})$
$ = \,|{\bar z_1} + {\bar z_2} + {\bar z_3}|\, = \,|\overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}} |\, = \,|{z_1} + {z_2} + {z_3}|$
$(\because \,\,\,|{\bar z_1}| = |{z_1}|)$
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