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8. Sequences and Series
medium
यदि किसी समान्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें, $r$ वें और $s$ वें पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो $(p - q),\;(q - r),\;(r - s)$ होंगे
A
गुणोत्तर श्रेणी में
B
समान्तर श्रेणी में
C
हरात्मक श्रेणी में
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(a) यदि किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ तथा सार्वअन्तर $d$ है,
तब ${T_p} = a + (p – 1)d,\;$
${T_q} = a + (q – 1)d$
एवं ${T_r} = a + (r – 1)d$.
यदि ${T_p},\;{T_q},\;{T_r}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं
तब सार्वअनुपात $R = \frac{{{T_q}}}{{{T_p}}} = \frac{{{T_r}}}{{{T_q}}} = \frac{{{T_q} – {T_r}}}{{{T_p} – {T_q}}}$
$ = \frac{{[a + (q – 1)d] – [a + (r – 1)d]}}{{[a + (p – 1)d] – [a + (q – 1)d]}} = \frac{{q – r}}{{p – q}}$
इसी प्रकार $R = \frac{{q – r}}{{p – q}} = \frac{{r – s}}{{q – r}}$
अत: $(p – q),\;(q – r),\;(r – s)$ गुणोत्तर श्रेणी में होंगे।
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