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यदि $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में हों, तब ${10^{ax + 10}},\;{10^{bx + 10}},\;{10^{cx + 10}}$ होंगे
समान्तर श्रेणी में
गुणोत्तर श्रेणी में जबकि $x > 0$
गुणोत्तर श्रेणी में $x$ के सभी मानों के लिए
गुणोत्तर श्रेणी में जबकि $x < 0$
Solution
(c) $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में हैं
$ \Rightarrow $$2b = a + c$
अब ${({10^{bx + 10}})^2} = ({10^{ax + 10}}.\;{10^{cx + 10}})$
$ \Rightarrow $ ${10^{2(bx + 10)}} = {10^{ax + cx + 20}}$
$ \Rightarrow $ $2(bx + 10) = ax + cx + 20,\;\forall \,x$
$ \Rightarrow $ $2b = a + c$
अर्थात् $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में हैं
अत: $x$ के सभी मानों के लिए यह गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
नोट : चूँकि हम जानते हैं यदि $a,\;b,\;c$ समान्तर श्रेणी में हैं,
तब $n$ व $r$ के प्रत्येक मान के लिए ${x^{an + r}},\;{x^{bn + r}},\;{x^{cn + r}}$ गुणोत्तर श्रेणी में होंगे।
