यदि x वास्तविक है, तो फलन frac{{(x - a)(x - b | vedclass

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Question

(d) माना $y = \frac{{(x - a)(x - b)}}{{(x - c)}}$

या $y(x - c) = {x^2} - (a + b)x + ab$

या ${x^2} - (a + b + y)x + ab + cy = 0$

$\Delta

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$a < c < b$

Vedclass · Answer

(d) माना $y = \frac{{(x - a)(x - b)}}{{(x - c)}}$ या $y(x - c) = {x^2} - (a + b)x + ab$ या ${x^2} - (a + b + y)x + ab + cy = 0$ $\Delta = {(a + b + y)^2} - 4(ab + cy)$ $ = {y^2} + 2y(a + b - 2c) + {(a - b)^2}$ चूँकि $x$ वास्तविक है और $y $सभी वास्तविक मान ग्रहण करता है, अत: $y$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $\Delta \ge 0$ होना चाहिए। $y$ में द्विघात समीकरण का चिन्ह वही होगा जो प्रथम पद का है यदि ${B^2} - 4AC < 0$ अर्थात् $4{(a + b - 2c)^2} - 4{(a - b)^2} < 0$ या $4(a + b - 2c + a - b)(a + b - 2c - a + b) < 0$ या $16(a - c)(b - c) < 0$ या $16(c - a)(c - b) = $ ऋणात्मक $ herefore$ $c, a$ और $b$ के बीच स्थित है, अर्थात् $a < c < b$.....$(i)$ जहाँ $a < b$, किन्तु यदि $b < a$ तब उपरोक्त प्रतिबन्ध $b < c < a$ या $a > c > b$ होगा।.....$(ii)$ अत: $(i)$ और $(ii)$ से हम देखते हैं कि $(d)$ सही उत्तर है।

यदि $x$ वास्तविक है, तो फलन $\frac{{(x - a)(x - b)}}{{(x - c)}}$ का प्रत्येक मान वास्तविक होगा, यदि

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