- Home
- Standard 11
- Mathematics
यदि $\alpha ,\beta $ समीकरण ${x^2} - ax + b = 0$ के मूल हों तथा यदि ${\alpha ^n} + {\beta ^n} = {V_n}$ हों, तो
${V_{n + 1}} = a{V_n} + b{V_{n - 1}}$
${V_{n + 1}} = a{V_n} + a{V_{n - 1}}$
${V_{n + 1}} = a{V_n} - b{V_{n - 1}}$
${V_{n + 1}} = a{V_{n - 1}} - b{V_n}$
Solution
${x^2} – ax + b = 0$ को ${x^{n – 1}}$ से गुणा करने पर
${x^{n + 1}} – a{x^n} + b{x^{n – 1}} = 0$…..$(i)$
${x^2} – ax + b = 0$ के मूल $\alpha ,\beta $ हैं। अत: ये (i) को संतुष्ट करेंगे।
और ${\alpha ^{n + 1}} – a{\alpha ^n} + b{\alpha ^{n – 1}} = 0$…..$(ii)$
${\beta ^{n + 1}} – a{\beta ^n} + b{\beta ^{n – 1}} = 0$…..$(iii)$
$(ii)$ व $(iii)$ को जोड़ने पर
$({\alpha ^{n + 1}} + {\beta ^{n + 1}}) – a({\alpha ^n} + {\beta ^n}) + b({\alpha ^{n – 1}} + {\beta ^{n – 1}}) = 0$
या ${V_{n + 1}} – a{V_n} + b{V_{n – 1}} = 0$
या ${V_{n + 1}} = a{V_n} – b{V_{n – 1}} = 0$(दिया है ${\alpha ^n} + {\beta ^n} = {V_n}$)
ट्रिक : $n = 0$, $1,\,\,2$ रखने पर
${V_0} = {\alpha ^0} + {\beta ^0} = 2$, ${V_1} = \alpha + \beta = a$,
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {V_2} = {a^2} – 2b$
विकल्प $(c) ⇒ {V_2} = a{V_1} – b{V_0} = {a^2} – 2b$
