यदि $^8{C_r}{ = ^8}{C_{r + 2}}$ हो, तब $^r{C_2}$ का मान होगा

$m$ पुस्तके काले आवरण में और $n$ पुस्तकें नीले आवरण में है और सभी पुस्तकें भिन्न है. कुल $(m+n)$ पुस्तकों को आलमारी में कितने ढंग से सजाया जा सकता है जिससे कि काले आवरण वाली सभी पुस्तकें साथ-साथ रहे.

$\sum \limits_{ k =0}^6{ }^{51- k } C _3$ बराबर है -

$10$ व्यक्ति, जिनमें $A, B$ तथा $C$ सम्मिलित हैं, एक कार्यक्रम में भाषण देने वाले हैं। यदि $A, B$ के पूर्व भाषण देना चाहे तथा $B,C$ के पूर्व भाषण देना चाहे तब कुल कितने प्रकार से यह कार्यक्रम हो सकेगा

माना $\mathrm{S}=\{1,2,3,5,7,10,11\}$ है। $\mathrm{S}$ के अरिक्त उपसमुच्चयों, जिनके सभी अवयवों का योग $3$ का एक गुणज है, की संख्या है__________. 

माना अनिल की माँ टोकरी, जिसमें $7$ लाल सेब, $5$ सफेद सेब तथा $8$ संतरे हैं, में से $5$ फल अनिल को देना चाहिती हैं यदि टोकरी में लिए गए $5$ फलों में से कम से कम $2$ संतरे, कम से कम एक लाल सेब तथा कम से कम एक सफेद सेब अवश्य होने चाहिए, तो अनिल की माँ द्वारा अनिल को $5$ फल देने के तरीकों की संख्या है__________.