यदि शब्द $EXAMINATION$ के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो $E$ से प्रारंभ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं ?

एक इंजीनियर को हर महीने के पहले $15$ दिनों के दौरान चार दिनों के लिये एक कारखाने का दौरा करने की आवश्यकता है तथा यह अनिवार्य है कि लगातार दो दिन कोई भी यात्रा न करें। तब सभी संभव तरीकों की संख्या, जिसमें कारखाने में इस तरह के दौरे इंजीनियर द्वारा $1-15$ जून $2021$ के दौरान किये जा सकते है, होगी

दो कलश हैं। कलश $A$ में $3$ भिन्न लाल गेंदें हैं तथा कलश $B$ में $9$ भिन्न नीली गेंदें हैं। प्रत्येक कलश में से दो गेंदें यादृच्छया निकालकर दूसरे कलश में डाली गई हैं। यह प्रक्रिया जितने तरीकों से की जा सकती है, वह है

यदि $n \geq 2$ एक धनात्मक पूर्णाक है, तो श्रेणी ${ }^{n+1} C _{2}+2\left({ }^{2} C _{2}+{ }^{3} C _{2}+{ }^{4} C _{2}+\ldots+{ }^{2} C _{2}\right)$ का योग है

$10$ व्यक्ति, जिनमें $A, B$ तथा $C$ सम्मिलित हैं, एक कार्यक्रम में भाषण देने वाले हैं। यदि $A, B$ के पूर्व भाषण देना चाहे तथा $B,C$ के पूर्व भाषण देना चाहे तब कुल कितने प्रकार से यह कार्यक्रम हो सकेगा