दो कलश हैं। कलश $A$ में $3$ भिन्न लाल गेंदें हैं तथा कलश $B$ में $9$ भिन्न नीली गेंदें हैं। प्रत्येक कलश में से दो गेंदें यादृच्छया निकालकर दूसरे कलश में डाली गई हैं। यह प्रक्रिया जितने तरीकों से की जा सकती है, वह है

$22$ खिलाड़ियों में से $10$ खिलाड़ियों की एक टीम कितने प्रकार से बनाई जा सकती है, जबकि $6$ विशेष खिलाड़ी सदैव टीम में सम्मिलित रहें तथा $4$ विशेष खिलाड़ी सदैव टीम से बाहर रहें

कोटि $3 \times 3$ के आव्यूहों, जिनके अवयव या तो 0 या 1 हैं तथा सभी अवयवों का योग एक अभाज्य संख्या है, की संख्या है $..............$

$^{47}{C_4} + \mathop \sum \limits_{r = 1}^5 {}^{52 - r}{C_3} = $

$\{1,2,3, \ldots, 20\}$ से $\{1,2,3, \ldots ., 20\}$ पर ऐसे आच्छादक फलनों, जिनके लिये $f ( k )$ तीन का गुणज है जब $k$ चार का गुणज है, की संख्या है 

$9$ उपलब्ध पाठ्यक्रमों में से, एक विद्यार्थी $5$ पाठ्यक्रमों का चयन कितने प्रकार से कर सकता है, यदि प्रत्येक विद्यार्थी के लिए $2$ विशिष्ट पाठ्यक्रम अनिवार्य हैं ?