જો x + y = 1, તો sumlimits_{r = 0}^n {{r^2}{, | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(c) We have $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $

$ = \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$

Vedclass · Accepted Answer

$nx(nx + y)$

Vedclass · Answer

(c) We have $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $

$ = \sum\limits_{r = 0}^n {[r(r - 1) + r]{\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}}$

$ = \sum\limits_{r = 0}^n {r(r - 1){\,^n}} {C_r}{x^r}{y^{n - r}} + \sum\limits_{r = 0}^n {{r^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $

$ = \sum\limits_{r = 2}^{n - 2} {r(r - 1)\frac{n}{r}.\frac{{n - 1}}{{r - 1}}{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^2}{x^{r - 2}}{y^{n - r}}} $ $ + \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {r\frac{n}{r}{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}x\,\,{x^{r - 1}}{y^{n - r}}} $

$ = n(n - 1){x^2}\sum\limits_{r = 2}^{n - 2} {{\,^{n - 2}}{C_{r - 2}}{x^{r - 2}}{y^{(n - 2) - (r - 2)}}} $ $+ nx\sum\limits_{r = 2}^{n - 1} {{\,^{n - 1}}{C_{r - 1}}{X^{r - 1}}{y^{(n - 1) - (r - 1)}}}$

$ = n(n - 1){x^2}{(x + y)^{n - 2}} + nx{(x + y)^{n - 1}}$

$ = n(n - 1){x^2} + nx,\,\,\,\,\,(\because x + y = 1)$

$ = nx(nx - x + 1) = nx(nx + y)\,,\,\,(\because x + y = 1)$

જો $x + y = 1$, તો $\sum\limits_{r = 0}^n {{r^2}{\,^n}{C_r}{x^r}{y^{n - r}}} $ = . . .

Similar Questions

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $m,n$ માટે, ${\left( {1 - y} \right)^m}{\left( {1 + y} \right)^n} = 1 + {a_1}y + {a_2}{y^2} + \ldots \;$માટે $a_1= a_2=10,$ તો $(m,n)$ =______.

જો ${(1 - 3x + 10{x^2})^n}$ વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $a$ છે અને ${(1 + {x^2})^n}$ વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $b$ હોય , તો . . . .

શ્રેણી $aC_0 + (a + b)C_1 + (a + 2b)C_2 + ..... + (a + nb)C_n$ નો સરવાળો મેળવો

જ્યાં $Cr's$ એ $(1 + x)^n, n \in N$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણક દર્શાવે છે

$x^2(1+x)^{98}+x^3(1+x)^{97}+x^4(1+x)^{96}+\ldots+x^{54}(1+x)^{46}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{70}$ નો સહગુણક ${ }^{99} \mathrm{C}_{\mathrm{p}}-{ }^{46} \mathrm{C}_{\mathrm{q}}$ છે. તો $p+q$ ની શક્ય કિંમત ........... છે.

જો ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .... + {C_n}{x^n}$, તો ${C_0}{C_2} + {C_1}{C_3} + {C_2}{C_4} + {C_{n - 2}}{C_n}$= . . .