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यदि $a,b,c$ समान्तर श्रेणी में हो,तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2}&{x + 3}&{x + a}\\{x + 4}&{x + 5}&{x + b}\\{x + 6}&{x + 7}&{x + c}\end{array}\,} \right|$ का मान होगा
$x - (a + b + c)$
$9{x^2} + a + b + c$
$a + b + c$
$0$
Solution
माना $A = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2}&{x + 3}&{x + a}\\{x + 4}&{x + 5}&{x + b}\\{x + 6}&{x + 7}&{x + c}\end{array}\,} \right|$
${C_2} \to {C_2} – {C_1}$ के द्वारा,
$A = \,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2}&1&{x + a}\\{x + 4}&1&{x + b}\\{x + 6}&1&{x + c}\end{array}\,} \right|$
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^3}}&{{a^4}}\\b&{{b^3}}&{{b^4}}\\c&{{c^3}}&{{c^4}}\end{array}\,} \right| + \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^3}}&{ – 1}\\b&{{b^3}}&{ – 1}\\c&{{c^3}}&{ – 1}\end{array}\,} \right| = 0$ और ${R_3} \to {R_3} – {R_1}$ के द्वारा,
$A = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2}&1&{x + a}\\2&0&{b – a}\\4&0&{c – a}\end{array}\,} \right|\, = \, – 1\,(2c – 2a – 4b + 4a)$
= $2(2b – c – a)$
$\because$ $ a, b, c $ समान्तर श्रेणी में हैं, अत: $ A = 0.$
