यदि $a, b, c$  तथा $d$  सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तब सारणिक $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}2&{a + b + c + d}&{ab + cd}\\{a + b + c + d}&{2(a + b)(c + d)}&{ab(c + d) + cd(a + b)}\\{ab + cd}&{ab(c + d) + cd(a + d)}&{2abcd}\end{array}} \right|$

यदि रेखीय समीकरणों का निकाय

$2 x+3 y-z=-2$

$x+y+z=4$

$x-y+|\lambda| z=4 \lambda-4$

जहाँ $\lambda \in R$, का कोई हल ना हो, तब

यदि $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. तब सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ - 1 - {\omega ^2}}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^4}}\end{array}\,} \right|$

माना $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। यदि रैखिक समीकरण निकाय

$\left(1+\cos ^{2} \theta\right) x+\sin ^{2} \theta y+4 \sin 3 \theta z=0$

$\cos ^{2} \theta x+\left(1+\sin ^{2} \theta\right) y+4 \sin 3 \theta z=0$

$\cos ^{2} \theta x+\sin ^{2} \theta y+(1+4 \sin 3 \theta) z=0$ का अतुच्छ हल है, तो, $\theta$ का मान है

यदि $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं तथा यदि समीकरण निकाय  $(a-1) x=y+z$; $(b-1) y=z+x$; $(c-1) z=x+y$ का एक अतुच्छ हल है, तो $a b+b c+c a$ बराबर है

यदि निकाय के समीकरणों $x - ky - z = 0$, $kx - y - z = 0$ तथा $x + y - z = 0$ का एक अशून्य हल है, तो $ k $ के संभावित मान होंगे