$ k$ ની . . . . કિમત માટે સમીકરણો $x + ky + 3z = 0,$ $3x + ky - 2z = 0,$ $2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ મળે.

જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\m&n&p\\x&y&z\end{array}\,} \right| = k$, તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{6a}&{2b}&{2c}\\{3m}&n&p\\{3x}&y&z\end{array}\,} \right| = $

જો $\left|\begin{array}{ccc}x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2\end{array}\right|=\frac{9}{8}(103 x+81)$, હોય,તો $\lambda$, $\frac{\lambda}{3}$ એ $.........$ સમીકરણના બીજ છે.

$\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{a + b}&{a + b + c}\\{3a}&{4a + 3b}&{5a + 4b + 3c}\\{6a}&{9a + 6b}&{11a + 9b + 6c}\end{array}\,} \right|$ કે જ્યાં $a = i,b = \omega ,c = {\omega ^2}$, તો $\Delta $ મેળવો.

સાબિત કરો કે નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય $\theta$ થી મુક્ત છે. 

$\,\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{array}\,} \right| \ne . . . .$