दिये गये सम्बन्ध का वर्ग करने पर,

$\sin 2\theta  = {x^2} – 1 \le 1 \Rightarrow {x^2} \le 2$

या  $ – \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 $          $[\because \,\,\sin 2\theta  \le 1]$

अब ${\sin ^6}\theta  + {\cos ^6}\theta $

$ = {({\sin ^2}\theta  + {\cos ^2}\theta )^3} – 3{\sin ^2}\theta {\cos ^2}\theta ({\sin ^2}\theta  + {\cos ^2}\theta )$

$ = 1 – 3{\sin ^2}\theta {\cos ^2}\theta  = 1 – \frac{3}{4}{\sin ^2}2\theta $

$ = 1 – \frac{3}{4}{({x^2} – 1)^2} = \frac{1}{4}\{ 4 – 3{({x^2} – 1)^2}\} $

अत: दिया गया परिणाम सत्य होगा जब ${x^2} \le 2$ ना कि $x$ की सभी वास्तविक संख्याओं के लिए.