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यदि किसी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा इसकी संयुग्मी की उत्केन्द्रता क्रमश: $e$ तथा $e’$ हो, तो
${\left( {\frac{1}{e}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{e'}}} \right)^2} = 1$
$\frac{1}{e} + \frac{1}{{e'}} = 1$
${\left( {\frac{1}{e}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{e'}}} \right)^2} = 0$
$\frac{1}{e} + \frac{1}{{e'}} = 2$
Solution
(a) माना अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$…..$(i)$
तब इसका संयुग्मी होगा $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = – 1$…..$(ii)$
अतिपरवलय $(i)$ की उत्केन्द्रता $e$ है। तब ${b^2} = {a^2}({e^2} – 1)$
या $\frac{1}{{{e^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{({a^2} + {b^2})}}$ …..$(iii)$
इसी प्रकार अतिपरवलय $(ii)$ की उत्केन्द्रता e' है। तब
${a^2} = {b^2}(e{'^2} – 1)$
$\frac{1}{{e{'^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{({a^2} + {b^2})}}$…..$(iv)$
$(iii)$ व $(iv)$ को जोड़ने पर,
$\frac{1}{{{{(e')}^2}}} + \frac{1}{{{e^2}}} $
$= \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 1.$
