यदि किसी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा इसकी सं | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(a) माना अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.....$(i)$

तब इसका संयुग्मी होगा $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}

Vedclass · Accepted Answer

${\left( {\frac{1}{e}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{e'}}} \right)^2} = 1$

Vedclass · Answer

(a) माना अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.....$(i)$

तब इसका संयुग्मी होगा $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} =  - 1$.....$(ii)$

अतिपरवलय $(i)$ की उत्केन्द्रता $e$ है। तब ${b^2} = {a^2}({e^2} - 1)$

या    $\frac{1}{{{e^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{({a^2} + {b^2})}}$ .....$(iii)$

इसी प्रकार अतिपरवलय $(ii)$ की उत्केन्द्रता e' है। तब

${a^2} = {b^2}(e{'^2} - 1)$

$\frac{1}{{e{'^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{({a^2} + {b^2})}}$.....$(iv)$

$(iii)$ व $(iv)$ को जोड़ने पर,  

$\frac{1}{{{{(e')}^2}}} + \frac{1}{{{e^2}}} $

$= \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 1.$

यदि किसी अतिपरवलय की उत्केन्द्रता तथा इसकी संयुग्मी की उत्केन्द्रता क्रमश: $e$ तथा $e’$ हो, तो

Similar Questions

आयताकार अतिपरवलय $\int_0^1 {{e^x}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \;dx$ की उत्केन्द्रता है

यदि $4{x^2} + p{y^2} = 45$ व ${x^2} - 4{y^2} = 5$ लाम्बिक प्रतिच्छेदित करते हैं तो $ p$ का मान है

अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए

$5 y^{2}-9 x^{2}=36$

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए

नाभियाँ $(\pm 5,0),$ अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है