यदि A=left[begin{array}{cc}5 a & -b 3 & 2end{array}right] तथा A operatorname{adj

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3 and 4 .Determinants and Matrices

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यदि $A=\left[\begin{array}{cc}5 a & -b \\ 3 & 2\end{array}\right]$ तथा $A \operatorname{adj} A=A A^{T}$ हैं, तो $5 a+b$ बराबर है:

A

$4$

B

$13$

C

$-1$

D

$5$

(JEE MAIN-2016)

Solution

$A=\left[\begin{array}{cc}{5 a} & {-b} \\ {3} & {2}\end{array}\right]$ and $A^{T}=\left[\begin{array}{cc}{5 a} & {3} \\ {-b} & {2}\end{array}\right]$

$\mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}{25 \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}} & {15 \mathrm{a}-2 \mathrm{b}} \\ {15 \mathrm{a}-2 \mathrm{b}} & {13}\end{array}\right]$

Now, $A \,adj$ $\mathrm{A}=|\mathrm{A}| \mathrm{I}_{2}=\left[\begin{array}{cc}{10 \mathrm{a}+3 \mathrm{b}} & {0} \\ {0} & {10 \mathrm{a}+3 \mathrm{b}}\end{array}\right]$

Given $\mathrm{AA}^{\mathrm{T}}=\mathrm{A}$. adj $\mathrm{A}$

$15 a-2 b=0$ ……..$(1)$

$10 a+3 b=13$ ………..$(2)$

Solving we get

$5 a=2$ and $b=3$

$\therefore 5 a+b=5$

Standard 12

Mathematics

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यदि $A =\left[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ तो $\frac{1}{2}\left( A + A ^{\prime}\right)$ तथा $\frac{1}{2}\left( A – A ^{\prime}\right)$ ज्ञात कीजिए।

hard

यदि $ A $ एक विषम कोटि का विषम-सममित आव्यूह है, तो $|A|$=

normal

माना $3 \times 3$ के सभी आव्यूहों, जिनके अवयव $\{-1$, 0,1 में से है, का समुच्चय $S$ है। आव्यूहों $A$ $\in S$ जिनके लिए $A ^{ T } A$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग 6 है, की कुल संख्या है $……….$

hard

(JEE MAIN-2022)

यदि नीचे दिये गये योग और गुणन परिभाषित हैं, तब आव्यूह के संदर्भ में निम्न कथन सत्य नहीं है

normal

यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2}\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right], \mathrm{C}=\mathrm{ABA}^{\top}$ तथा $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{C}^2 \mathrm{~A}$ हैं, तो $\operatorname{det} \mathrm{X}$ बराबर है :

hard

(JEE MAIN-2024)