यदि सम्मिश्र संख्या z = x + iy इस प्रकार ली ?

English

Gujarati

Hindi

4-1.Complex numbers

medium

यदि सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ इस प्रकार ली जाती है कि भिन्न $\frac{{z - 1}}{{z + 1}}$ का कोणांक सदैव $\frac{\pi }{4}$ हो, तो

A

${x^2} + {y^2} + 2y = 1$

B

${x^2} + {y^2} - 2y = 0$

C

${x^2} + {y^2} + 2y = - 1$

D

${x^2} + {y^2} - 2y = 1$

Solution

(d) $\frac{{z – 1}}{{z + 1}} = \frac{{(x + iy) – 1}}{{(x + iy) + 1}} = \frac{{(x – 1) + iy}}{{(x + 1) + iy}}$

$ = \,\frac{{\{ (x – 1) + iy\} \,\{ (x + 1) – iy\} }}{{\{ (x + 1) + iy\} \,\{ (x + 1) – iy\} }}$

$ = \frac{{\{ ({x^2} – 1) + {y^2}\} + i\{ y(x + 1) – y(x – 1)\} }}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}}$

$ = \left\{ {\frac{{({x^2} – 1) + {y^2}}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}}} \right\}$$ + i\,\left\{ {\frac{{2y}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}}} \right\}$

$\therefore \,\,$$amp\left( {\frac{{z – 1}}{{z + 1}}} \right)$$ = {\tan ^{ – 1}}\left\{ {\frac{{2y}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}} \div \frac{{({x^2} – 1) + {y^2}}}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2}}}} \right\}$

==> $\frac{\pi }{4} = {\tan ^{ – 1}}\left\{ {\frac{{2y}}{{{x^2} + {y^2} – 1}}} \right\}$

==> $\tan \frac{\pi }{4} = \frac{{2y}}{{{x^2} + {y^2} – 1}}$
==> $1 = \frac{{2y}}{{{x^2} + {y^2} – 1}}$==> ${x^2} + {y^2} – 1 = 2y$
==> ${x^2} + {y^2} – 2y = 1$.

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

निम्नलिखित सम्मिश्र संख्याओं का मापांक एवं कोणांक ज्ञात कीजिए।

$\frac{1}{1+i}$

medium

किसी भी सम्मिश्र संख्या $w =c+i d$ के लिए, मान लीजिए कि $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है कि $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को सन्तुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z = x + iy$ के लिए, क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त

$x ^2+ y ^2+5 x -3 y +4=0 .$ पर स्थित है। तब निम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (है)?

$(A)$ $\alpha=-1$ $(B)$ $\alpha \beta=4$ $(C)$ $\alpha \beta=-4$ $(D)$ $\beta=4$

medium

(IIT-2021)

यदि ${z_1} = a + ib$ व ${z_2} = c + id$ सम्मिश्र संख्यायें इस प्रकार हैं कि $|{z_1}| = |{z_2}| = 1$ व $R({z_1}\overline {{z_2}} ) = 0,$ तो सम्मिश्र संख्याओं का युग्म ${w_1} = a + ic$ व ${w_2} = b + id$ संतुष्ट करता है

hard

(IIT-1985)

यदि $z =2+3 i$ है, तो $z ^5+(\overline{ z })^5$ बराबर है:

medium

(JEE MAIN-2022)

यदि $z_1$ तथा ${z_2}$ दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\left| {\frac{{{z_1} – {z_2}}}{{{z_1} + {z_2}}}} \right| = 1$ तथा $i{z_1} = k{z_2}$, जहाँ $k \in R$, तब${z_1} – {z_2}$ तथा ${z_1} + {z_2}$ के मध्य कोण है

hard