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8. Sequences and Series
medium
यदि किसी धनात्मक गुणोत्तर श्रेणी का प्रत्येक पद अपने पूर्व के दो पदों के योग के बराबर है, तो श्रेणी का सार्व-अनुपात होगा
A
$1$
B
$\frac{2}{{\sqrt 5 }}$
C
$\frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}$
D
$\frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$
Solution
(d) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद व सार्वानुपात क्रमश: $a$ व $r$ है, तब प्रश्नानुसार,
${T_n} = {T_{n – 1}} + {T_{n – 2}}$
$ \Rightarrow $ $a{r^{n – 1}} = a{r^{n – 2}} + a{r^{n – 3}}$
$ \Rightarrow $ $a{r^{n – 1}} = a{r^{n – 1}}{r^{ – 1}} + a{r^{n – 1}}{r^{ – 2}}$
$ \Rightarrow $ $1 = \frac{1}{r} + \frac{1}{{{r^2}}}$
$ \Rightarrow $ ${r^2} – r – 1 = 0$
$ \Rightarrow $ $r = \frac{{1 \pm \sqrt {1 + 4} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$
केवल $(+) $ चिन्ह् लेने पर .$(\because \;r > 1)$
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