જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0,( a , b , c \in R$ અને  $a , b \neq 0)$ ના બીજ છે અને સમીકરણો ($u,v,w$ ના ચલમાં)  $\alpha u+\beta v+\gamma w=0, \beta u+\gamma v+\alpha w=0$ $\gamma u +\alpha v +\beta w =0$ એ શૂન્યતર ઉકેલ ધરાવે છે તો  $\frac{a^{2}}{b}$ ની કિમંત મેળવો.

જો ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  r&{2r – 1}&{3r – 2} \\ 
  {\frac{n}{2}}&{n – 1}&a \\ 
  {\frac{1}{2}n\left( {n – 1} \right)}&{{{\left( {n – 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n – 1} \right)\left( {3n – 4} \right)} 
\end{array}} \right|$ તો $\sum\limits_{r = 1}^{n – 1} {{\Delta _r}} $ ની કિમત  . . .

જો $x + y – z = 0,\,3x – \alpha y – 3z = 0,\,\,x – 3y + z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય, તો $\alpha$ ની કિમત મેળવો.

સમીકરણ સંહતિને $2{x_1} – 2{x_2} + {x_3} = \lambda {x_1}\;,\;2{x_1} – 3{x_2} + 2{x_3} = \lambda {x_2}\;\;,\;\; – {x_1} + 2{x_2} = \lambda {x_3}$ યોગ્ય ઉકેલ હોય તેવા બધાજ $\lambda $ ઓનો ગણ . . . . . . છે.

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  x&{\sin \,\theta }&{\cos \,\theta } \\ 
  {\sin \,\theta }&{ – x}&1 \\ 
  {\cos \,\theta }&1&x 
\end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  x&{\sin \,2\theta }&{\cos \,\,2\theta } \\ 
  {\sin \,2\theta }&{ – x}&1 \\ 
  {\cos \,\,2\theta }&1&x 
\end{array}} \right|$, $x \ne 0$ ;તો દરેક $\theta  \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ માટે . . .  .