- Home
- Standard 11
- Mathematics
જો $\left( a x^3+\frac{1}{ b x^{1 / 3}}\right)^{15}$ ના વિસ્તારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $\left( a x^{1 / 3}-\frac{1}{ b x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો આવી પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ $(a,b)$ માટે $..........$.
$a=b$
$ab =1$
$a=3 b$
$a b=3$
Solution
$\text { Coefficient Of } x^{15} \text { in }\left(a x^3+\frac{1}{b x^{1 / 3}}\right)^{15}$
$T_{r+1}={ }^{15} C_r\left(a x^3\right)^{15-r}\left(\frac{1}{b x^{1 / 3}}\right)^r$
$45-3 r-\frac{r}{3}=15$
$30=\frac{10 r}{3}$
$r=9$
$\text { Coefficient of } x^{15}={ }^{15} C_9 a^6 b^{-9}$
$\text { Coefficient of } x^{-15} \text { in }\left(a x^{1 / 3}-\frac{1}{b x^3}\right)^{15}$
$T_{r+1}={ }^{15} C_r\left(a x^{1 / 3}\right)^{15-r}\left(-\frac{1}{b x^3}\right)^r$
$5-\frac{r}{3}-3 r=-15$
$\frac{10 r}{3}=20$
$r =6$
Coefficient $={ }^{15} C _6 a ^9 \times b ^{-6}$
$\frac{ a ^9}{ b ^6}=\frac{ a ^6}{ b ^9}$
$a ^3 b ^3=1 \Rightarrow ab =1$
