જો ઉપવલય $x^{2}+4 y^{2}+2 x+8 y-\lambda=0$ નાં નાભિલંબ લંબાઈ $4$ હોય અને તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $l$ હોય, તો $\lambda+l=$ .........

ધારો કે વક્રો $4\left(x^{2}+y^{2}\right)=9$ અને $y^{2}=4 x$ ના સામાન્ય સ્પર્શકો $Q$ બિંદુમાં છેદે છે. ધારે કે $O$ કેન્દ્રવાળા એક ઉપવલયના ગૌણ અક્ષ અને પ્રધાન અક્ષ ની અર્લંધબાઈઓ અનુક્રમે $OQ$ અને $6$ છે.જો આ ઉપવલય ઉત્કેન્દ્રતા $e$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $l$ હોય, તો $\frac{l}{ e ^{2}}=\dots\dots\dots$

બિંદુ $P\ (3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1$પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શ છે.$A$ અને $B$ ના યામ મેળવો.

અહી $\theta$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=3$ નાં પ્રથમ ચરણનાં છેદબિંદુ આગળનાં સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો છે તો  $\tan \theta$ ની કિમંત મેળવો.

ધારોકે વક્ર $9 x^2+16 y^2=144$ નો સ્પર્શક યામાક્ષો ને બિંદુ ઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. તો, રેખાખંડ $AB$ની ન્યૂનતમ લંબાઈ $.............$ છે.

આપેલ શરતોનું સમાધાન કરતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધોઃ શિરોબિંદુઓ $(\pm 5,\,0),$ નાભિઓ $(\pm 4,\,0)$