જો રેખા $y=m x+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=36$ બંનેનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય તો નીચેનામાંથી ક્યુ વિધાન સાચું છે ? 

એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ નાં શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ધારોક ઉપવલય $E$ ની પ્રધાન અને ગૌણ અક્ષો, અતિવલય $H$ ની અનુક્રમે મુખ્ય અને અનુબદ્ધ અક્ષો સાથે સંપાતિ છે. ધારો કે $E$ અને $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ છે. જો ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ હોય, તો $113 l$ નું મૂલ્ય ............. છે.

જો સુરેખા $\,x\cos \,\,\alpha \,\, + \,\,y\,\sin \,\,\alpha \,\, = \,\,p$   એ અતિવલય 

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$ નો સ્પર્શક હોય , તો .....

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે. જો આ અતિવલય પરનાં બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ આગળ અભીલંબનું સમીકરણ $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ હોય, તો $\lambda-\beta$ = ............

$\gamma$ ના કયાં મૂલ્ય માટે રેખા $y = 2x + \gamma $ અતિવલય $16x^{2} - 9y^{2} = 144$ ને સ્પર્શેં?

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ નો નાભિલંબ અતિવલયના કેન્દ્ર સાથે $\frac{\pi}{3}$ સાથે ખૂણો આંતરે છે. જો $b^2$ બરાબર $\frac{l}{m}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$ થાય, જ્યાં $l$ અને $\mathrm{m}$ પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે,તો $\mathrm{l}^2+\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2=$___________.