જો રેખા $y=m x+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=36$ બંનેનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય તો નીચેનામાંથી ક્યુ વિધાન સાચું છે ? 

$T$ એ  વક્ર $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ અને $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે જે ચોથા ચરણમાંથી પસાર નથી થતો. જો $T$ એ $C _{1}$ ને ( $\left.x _{1}, y _{1}\right)$ અને $C _{2}$ ને $\left( x _{2}, y _{2}\right)$ આગળ સ્પર્શે છે તો $\left|2 x _{1}+ x _{2}\right|$ ની કિમંત  $......$ થાય.

જો અતિવલય અને તેની અનુબદ્ધ ઉત્કેન્દ્રતા $e$ અને $e'$ હોય, તો $\frac{1}{{{e^2}}}\,\, + \;\,\frac{1}{{e{'^2}}}\,\, = \,\,.......$

ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે. જો આ અતિવલય પરનાં બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ આગળ અભીલંબનું સમીકરણ $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ હોય, તો $\lambda-\beta$ = ............

જેની નાભિઓ $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ હોય, અને ઉત્કેન્દ્રતા $2$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ :

એક અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઇ $\sqrt{2}$ છે તથા અતિવલય અને ઉપવલય $3 x^{2}+4 y^{2}=12$ બંનેની નાભી સરખી હોય તો નીચેનામાંથી ક્યાં બિંદુમાંથી અતિવલય પસાર ન થાય