(d) दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के अभिलम्ब का समीकरण है

$ax\,\,\sec \phi  – by\,\,{\rm{cosec}}\,\phi  = {a^2} – {b^2}$…..$(i)$

सरल रेखा $x\cos \alpha  + y\sin \alpha  = p$ दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की अभिलम्ब होगी, यदि $(i)$ तथा $x\cos \alpha  + y\sin \alpha  = p$ एक ही रेखा को निरूपित करें

$\frac{{a\sec \phi }}{{\cos \alpha }} = \frac{{ – b\,{\rm{cosec}}\phi }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{a^2} – {b^2}}}{p}$

$ \Rightarrow \,\cos \phi \, = \frac{{ap}}{{({a^2} – {b^2})\cos \alpha }},\,$$\sin \phi  = \frac{{ – bp}}{{({a^2} – {b^2})\sin \alpha }}$

${\sin ^2}\phi  + {\cos ^2}\phi  = 1$

$ \Rightarrow \,\frac{{{b^2}{p^2}}}{{{{({a^2} – {b^2})}^2}{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{a^2}{p^2}}}{{{{({a^2} – {b^2})}^2}{{\cos }^2}\alpha }} = 1$

$ \Rightarrow $ ${p^2}({b^2}{\rm{cose}}{{\rm{c}}^{\rm{2}}}\,\alpha  + {a^2}{\sec ^2}\alpha ) = {({a^2} – {b^2})^2}$.