જો વિધેય $f :\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R ,$  :

$f (\theta)=\left|\begin{array}{ccc}-\sin ^{2} \theta & -1-\sin ^{2} \theta & 1 \\ -\cos ^{2} \theta & -1-\cos ^{2} \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2\end{array}\right|$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિમતો અનુક્રમે $m$ અને $M$ હોય તો $( m , M )$ ની કિમત શોધો 

જો સમીકરણ સંહતિ $ax + y + z = 0$, $x + by + z = 0$ અને $x + y + cz = 0 $ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તો $\frac{1}{{1 - a}} + \frac{1}{{1 - b}} + \frac{1}{{1 - c}} = . .. . $ (કે જ્યાં $a,b,c \ne 1$ )

$\left|\begin{array}{ccc}x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }\\{{{\cos }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }\\{4\sin 4\theta }&{4\sin 4\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$ તો $\sin\, 4\theta $ મેળવો.

$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & y \\ 1 & x+y & y \\ 1 & x & x+y\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

સાબિત કરો કે, $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
a+b x & c+d x & p+q x \\
a x+b & c x+d & p x+q \\
u & v & w
\end{array}\right|=\left(1-x^{2}\right)\left|\begin{array}{lll}
a & c & p \\
b & d & q \\
u & v & m
\end{array}\right|$