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यदि दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{14}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ के बिन्दु $P(\theta )$ पर खींचे गये अभिलम्ब इसे पुन: $Q(2\theta )$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो $\cos \theta $ बराबर है
$\frac{2}{3}$
$ - \frac{2}{3}$
$\frac{3}{2}$
$ - \frac{3}{2}$
Solution
(b) $P(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ पर अभिलम्ब $ax\sec \theta – by\,\,{\rm{cosec}}\theta = {a^2} – {b^2}$,
जहाँ ${a^2} = 14,\,\,{b^2} = 5$ यह वक्र को पुन: $Q(2\theta )$ अर्थात् $(a\cos 2\theta ,\,b\sin 2\theta )$ पर मिलता है।
अत: $\frac{a}{{\cos \theta }}a\cos 2\theta – \frac{b}{{\sin \theta }}(b\sin 2\theta ) = {a^2} – {b^2}$
$ \Rightarrow \frac{{14}}{{\cos \theta }}\cos 2\theta – \frac{5}{{\sin \theta }}(\sin 2\theta ) = 14 – 5$
$ \Rightarrow 18{\cos ^2}\theta – 9\cos \theta – 14 = 0$
$ \Rightarrow (6\cos \theta – 7)(3\cos \theta + 2) = 0$
$\Rightarrow \cos \theta = – \frac{2}{3}$.
