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7.Binomial Theorem
hard
यदि $\left( x ^{ n }+\frac{2}{ x ^5}\right)^7$ के द्विपद प्रसार में $x$ की सभी धनात्मक घातों के गुणांको का योगफल $939$ है, तो $n$ के सभी सम्भव पूर्णांक मानों का योग है :
A
$47$
B
$57$
C
$67$
D
$87$
(JEE MAIN-2022)
Solution
coefficients and there cumulative sum are :
| Coefficient | Commulative sum |
| $x ^{7 n } \rightarrow{ }^{7} C _{0}$ | $1$ |
| $x ^{6 n-5} \rightarrow 2 \cdot{ }^{7} C _{1}$ | $1+14$ |
| $x ^{5 n -10} \rightarrow 2^{2} \cdot{ }^{7} C _{2}$ | $1+14+84$ |
| $x ^{4 n -15} \rightarrow 2^{3} \cdot{ }^{7} C _{3}$ | $1+14+84+280$ |
| $x ^{3 n -20} \rightarrow 2^{4} \cdot{ }^{7} C _{4}$ | $1+14+84+280+560=939$ |
| $x ^{2 n -25} \rightarrow 2^{5} \cdot{ }^{7} C _{5}$ |
$3 n-20 \geq 0 \cap 2 n-25<0 \cap n \in I ~\\ \therefore \quad 7 \leq n \leq 12 ~\\ \text { Sum }=7+8+9+10+11+12=57$
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