यदि left( x ^{ n }+frac{2}{ x ^5}right)^7 के द्विपद प्रसार मे?

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7.Binomial Theorem

hard

यदि $\left( x ^{ n }+\frac{2}{ x ^5}\right)^7$ के द्विपद प्रसार में $x$ की सभी धनात्मक घातों के गुणांको का योगफल $939$ है, तो $n$ के सभी सम्भव पूर्णांक मानों का योग है :

A

$47$

B

$57$

C

$67$

D

$87$

(JEE MAIN-2022)

Solution

coefficients and there cumulative sum are :

Coefficient	Commulative sum
$x ^{7 n } \rightarrow{ }^{7} C _{0}$	$1$
$x ^{6 n-5} \rightarrow 2 \cdot{ }^{7} C _{1}$	$1+14$
$x ^{5 n -10} \rightarrow 2^{2} \cdot{ }^{7} C _{2}$	$1+14+84$
$x ^{4 n -15} \rightarrow 2^{3} \cdot{ }^{7} C _{3}$	$1+14+84+280$
$x ^{3 n -20} \rightarrow 2^{4} \cdot{ }^{7} C _{4}$	$1+14+84+280+560=939$
$x ^{2 n -25} \rightarrow 2^{5} \cdot{ }^{7} C _{5}$

$3 n-20 \geq 0 \cap 2 n-25<0 \cap n \in I ~\\ \therefore \quad 7 \leq n \leq 12 ~\\ \text { Sum }=7+8+9+10+11+12=57$

Standard 11

Mathematics

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medium

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hard

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easy