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8. Sequences and Series
hard
किसी बहुभुज के अन्त: कोण समान्तर श्रेणी में हैं। यदि सबसे छोटा कोण ${120^o}$ और सार्वअन्तर $5^o$ है, तो भुजाओं की संख्या होगी
A
$8$
B
$10$
C
$9$
D
$6$
(IIT-1980)
Solution
(c) माना बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है।
अत: इसके अन्त: कोणों का योग $ = (2n – 4)\frac{\pi }{2} = (n – 2)\pi $
चूँकि कोण समान्तर श्रेणी में हैं तथा $a = {120^o},\;d = 5$,
इसलिए $\frac{n}{2}[2 \times 120 + (n – 1)5] = (n – 2)180$
$⇒ {n^2} – 25n + 144 = 0$$⇒(n – 9)(n – 16) = 0$
$⇒ n = 9,\;16$
परन्तु $n = 16$ से ${T_{16}} = a + 15d = {120^o} + {15.5^o} = {195^o}$,
जो कि असम्भव है क्योंकि कोई भी अन्त:कोण ${180^o}$ से अधिक नहीं होता है।
अत: $n = 9$.
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