यदि समीकरणों के निकाय α x+y+z=5 , x +2 y +3 z =4, x +3 y +5 z =

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3 and 4 .Determinants and Matrices

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यदि समीकरणों के निकाय $\alpha x+y+z=5$, $x +2 y +3 z =4, x +3 y +5 z =\beta$ के अनन्त हल है तो क्रमित युग्म $(\alpha, \beta)$ का मान होगा:

A

$(1,-3)$

B

$(-1,3)$

C

$(1,3)$

D

$(-1,-3)$

(JEE MAIN-2022)

Solution

For infinitely many solutions,

$\Delta=0=\Delta_{ x }=\Delta_{ y }=\Delta_{ z }$

$\Delta=\left|\begin{array}{lll}\alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \alpha(10-9)-1(5-3)+1(3-2)=0$

$\Rightarrow \alpha-2+1=0$

$\Rightarrow \alpha=1$

$\Delta_{x}=\left|\begin{array}{lll}5 & 2 & 3 \\ \beta & 3 & 5\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow 5(10-9)-1(20-3 \beta)+1(12-2 \beta)$

$\Rightarrow 5-20+3 \beta+12-2 \beta$

$\Rightarrow-3+\beta=0$

$\Rightarrow \beta=3$

Standard 12

Mathematics

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medium

माना $A (1, \alpha), B (\alpha, 0)$ तथा $C (0, \alpha)$ शीर्षो वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है। यदि बिन्दु $(\alpha,-\alpha),(-\alpha, \alpha)$ तथा $\left(\alpha^2, \beta\right)$ संरेखीय हो, तो $\beta$ का मान होगा

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medium

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$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}\\{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}\\{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}&{1 + f\left( 4 \right)}\end{array}} \right|\;$

$= K{\left( {1 – \alpha } \right)^2}$ ${\left( {1 – \beta } \right)^2}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}$ है, तो $K$ बराबर है

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(JEE MAIN-2023)