माना $A (1, \alpha), B (\alpha, 0)$ तथा $C (0, \alpha)$ शीर्षो वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है। यदि बिन्दु $(\alpha,-\alpha),(-\alpha, \alpha)$ तथा $\left(\alpha^2, \beta\right)$ संरेखीय हो, तो $\beta$ का मान होगा

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&3&5\\2&{x + 2}&5\\2&3&{x + 4}\end{array}\,} \right| = 0$,तो समीकरण  $x =$

$\lambda$ के उन भिन्न मानों का योग, जिनके लिए समीकरण निकाय

$(\lambda-1) x +(3 \lambda+1) y +2 \lambda z =0$

$(\lambda-1) x +(4 \lambda-2) y +(\lambda+3) z =0$

$2 x +(3 \lambda+1) y +3(\lambda-1) z =0$ के शून्येतर (non-zero) हल हैं, है

प्रत्येक में $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है जहाँ शीर्षबिंदु निम्नलिखित हैं:

$(\mathrm{k}, 0),(4,0),(0,2)$

यदि अशून्य $a,b,c$ के लिये $\Delta  = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{1 + a}&1&1\\1&{1 + b}&1\\1&1&{1 + c}\end{array}} \right| = 0$, तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = $