यदि तीन असमान संख्यायें p,;q,;r हरात्मक श्रेण | vedclass

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Question

(d) परिकल्पना से, $q = \frac{{2pr}}{{p + r}}$

$ \Rightarrow $$\frac{q}{2} = \frac{{pr}}{{p + r}} = K$ (माना)

$ \Rightarrow $ $q = 2K,\;pr = (p +

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$1 \mp \sqrt 3 : - 2:1 \pm \sqrt 3 $

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(d) परिकल्पना से, $q = \frac{{2pr}}{{p + r}}$

$ \Rightarrow $$\frac{q}{2} = \frac{{pr}}{{p + r}} = K$ (माना)

$ \Rightarrow $ $q = 2K,\;pr = (p + r)K$ एवं ${p^2},\;{q^2},\;{r^2}$  समान्तर श्रेणी में हैं।

$	herefore $$2{q^2} = {p^2} + {r^2} = {(p + r)^2} - 2pr$

$ \Rightarrow $ $8{K^2} = {(p + r)^2} - 2(p + r)K$

$ \Rightarrow $${(p + r)^2} - 2(p + r)K - 8{K^2} = 0$

$ \Rightarrow $$p + r = 4K,\; - 2K$

जब $p + r = 4K$, तब  $pr = 4{K^2}$

$	herefore $${(p - r)^2} = {(p + r)^2} - 4pr = 16{K^2} - 16{K^2} = 0$

$ \Rightarrow $$p = r$ जो कि सम्भव नहीं है,$(\because \;\;p 
e r)$

$p + r =  - 2K$

$ \Rightarrow $$pr =  - 2K\;.\;K =  - 2{K^2}$

अब  ${(p - r)^2} = {(p + r)^2} - 4pr = 4{K^2} - 4( - 2{K^2}) = 12{K^2}$

$ \Rightarrow $$p - r =  \pm 2\sqrt 3 K$ एवं  $p + r =  - 2K$

$	herefore $$2p = ( - 2 \pm 2\sqrt 3 )K$

$ \Rightarrow $$p = ( - 1 \pm \sqrt 3 )K$

व $2r =  - 2K \mp 2\sqrt 3 K$

$ \Rightarrow $$r = ( - 1 \mp \sqrt 3 )K$

$	herefore $$p:q:r = ( - 1 \pm \sqrt 3 )K:2K:( - 1 \mp \sqrt 3 )K$

$ =  - 1 \pm \sqrt 3 :2: - 1 \mp \sqrt 3  = 1 \mp \sqrt 3 : - 2:1 \pm \sqrt 3 $.

यदि तीन असमान संख्यायें $p,\;q,\;r$ हरात्मक श्रेणी में हों व इनके वर्ग समान्तर श्रेणी में हों, तब अनुपात $p:q:r$ है

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