दीर्घवृत्त $4{x^2} + 9{y^2} = 36$ के बिन्दु $(3, -2)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण क्रमश: हैं
दीर्घवृत्त $4{x^2} + 9{y^2} = 36$ के बिन्दु $(3, -2)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण क्रमश: हैं
- A
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1,\;\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$
- B
$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1,\;\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$
- C
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1,\;\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{5}{6}$
- D
इनमें से कोई नहीं
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दीर्घवृत्त $4{x^2} + {y^2} - 8x + 2y + 1 = 0$ की उत्केन्द्रता है
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यदि दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की नाभियाँ व अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{81}} = \frac{1}{{25}}$ की नाभियाँ सम्पाती हों तो ${b^2}$ का मान है
यदि दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की नाभियाँ व अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{81}} = \frac{1}{{25}}$ की नाभियाँ सम्पाती हों तो ${b^2}$ का मान है
- [AIEEE 2003]
दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :
$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;
$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;
$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?
$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है
$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है
दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :
$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;
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$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है
- [IIT 2019]
यदि एक दीर्घवृत जिसका केंद्र मूलबिन्दु पर है, के दीर्घ अक्ष तथा लघु अक्ष की लंबाइयों का अंतर $10$ है तथा एक नाभिकेंद्र $(0,5 \sqrt{3})$ पर है, तो इसके नाभिलंब की लंबाई है
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- [JEE MAIN 2019]
चित्र में दर्शाए अनुसार एक दीवार $(Wall)$, फर्श से $135^{\circ}$ कोण पर झुकी है, $\ell$ लम्बाई की एक सीढ़ी $(ladder)$ दीवार पर स्थित है. जैसे-जैसे सीड़ी फिसलती है उसका मध्य बिंदु एक दीर्घ वृत्त की चाप के अनुसार घूमती हैं. दीर्घ वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा ?
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- [KVPY 2016]