એક સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ $\frac{1}{q}$ અને $q$ મું પદ $\frac{1}{p}$છે. $p \neq q$ માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદનો સરવાળો $\frac{1}{2}(p q+1)$ થાય. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is known that the general term of an $A.P.$ is $a_{n}=a+(n-1) d$

$\therefore$ According to the given information,

$p^{\text {th }}$ term $=a_{p}=a+(p-1) d=\frac{1}{q}$      ......$(1)$

$q^{ th }$ term $=a_{q}=a+(q-1) d=\frac{1}{p}$       ........$(2)$

Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain

$(p-1) d-(q-1) d=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$

$\Rightarrow(p-1-q+1) d=\frac{p-q}{p q}$

$\Rightarrow(p-q) d=\frac{p-q}{p q}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{p q}$

Putting the value of $d$ in $(1),$ we obtain $a+(p-1) \frac{1}{p q}=\frac{1}{q}$

$\Rightarrow a=\frac{1}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{p q}=\frac{1}{p q}$

$\therefore {S_{pq}} = \frac{{pq}}{2}[2a + (pq - 1)d]$

$=\frac{p q}{2}\left[\frac{2}{p q}+(p q-1) \frac{1}{p q}\right]$

$=1+\frac{1}{2}(p q-1)$

$=\frac{1}{2} p q+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} p q+\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}(p q+1)$

Thus, the sum of first pq terms of the $A.P.$ is $=\frac{1}{2}(p q+1)$

Similar Questions

જો કોઈ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $cn(n -1)$ , જ્યાં $c \neq 0$ , હોય તો આ પદોના વર્ગોનો સરવાળો મેળવો 

સમાંતર શ્રેણીનું $r$ મું પદ $Tr$ છે. તેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. જો કેટલાક ધન પૂર્ણાકો $m, n, m \neq  n,$ માટે $T_m = 1/n$ અને $T_n = 1/m,$ હોય તો $a - d = …….$

જો $\frac{1}{{b\, + \,c}},\,\frac{1}{{c\, + \,a}},\,\frac{1}{{a\, + \,b}}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $a^2, b^2, c^2$ કઈ શ્રેણીમાં હશે ?

ધારો કે  $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ સમાંતર શ્રેણીનાં પહેલા $\mathrm{n}$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે  છે. જો  $\mathrm{S}_{20}=790$ અને $\mathrm{S}_{10}=145$ હોય, તો  $\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5=$....................

  • [JEE MAIN 2024]

જો શ્રેણી $\sqrt 3  + \sqrt {75}  + \sqrt {243}  + \sqrt {507}  + ......$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $435\sqrt 3 $ થાય તો $n$ ની કિમત મેળવો.

  • [JEE MAIN 2017]