એક સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ $\frac{1}{q}$ અને $q$ મું પદ $\frac{1}{p}$છે. $p \neq q$ માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદનો સરવાળો $\frac{1}{2}(p q+1)$ થાય.
It is known that the general term of an $A.P.$ is $a_{n}=a+(n-1) d$
$\therefore$ According to the given information,
$p^{\text {th }}$ term $=a_{p}=a+(p-1) d=\frac{1}{q}$ ......$(1)$
$q^{ th }$ term $=a_{q}=a+(q-1) d=\frac{1}{p}$ ........$(2)$
Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1) d-(q-1) d=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$
$\Rightarrow(p-1-q+1) d=\frac{p-q}{p q}$
$\Rightarrow(p-q) d=\frac{p-q}{p q}$
$\Rightarrow d=\frac{1}{p q}$
Putting the value of $d$ in $(1),$ we obtain $a+(p-1) \frac{1}{p q}=\frac{1}{q}$
$\Rightarrow a=\frac{1}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{p q}=\frac{1}{p q}$
$\therefore {S_{pq}} = \frac{{pq}}{2}[2a + (pq - 1)d]$
$=\frac{p q}{2}\left[\frac{2}{p q}+(p q-1) \frac{1}{p q}\right]$
$=1+\frac{1}{2}(p q-1)$
$=\frac{1}{2} p q+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} p q+\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}(p q+1)$
Thus, the sum of first pq terms of the $A.P.$ is $=\frac{1}{2}(p q+1)$
$3$ અને $24$ વચ્ચે $6$ સંખ્યાઓ ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી બને.
જો $a$ અને $100$ ની વચ્ચે $n$ સમાંતર મધ્યકો મૂકવામાં આવે કે જેથી પ્રથમ મધ્યકનો અંતિમ મધ્યક સાથેનો ગુણોત્તર $1: 7$ અને $a + n =33$ થાય, તો $n$ ની કિમત ...............છે.
એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $m$ અને $n$ પદોના સરવાળાના ગુણોત્તર $m^{2}: n^{2}$ છે. સાબિત કરો કે $m$ માં તથા $n$ માં પદોનો ગુણોત્તર $(2 m-1):(2 n-1)$ થાય.
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર ક્રમિક પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો બધી જ સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય ?
નીચેની ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ
$3,7,11,15,...................,399$
$2,5,8,11,............,359$ અને
$2,7,12,17,...........,197$,
ના સામાન્ય પદોનો સરવાળો $.....$ છે.