એક સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ $\frac{1}{q}$ અને $q$ મું પદ $\frac{1}{p}$છે. $p \neq q$ માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદનો સરવાળો $\frac{1}{2}(p q+1)$ થાય.
It is known that the general term of an $A.P.$ is $a_{n}=a+(n-1) d$
$\therefore$ According to the given information,
$p^{\text {th }}$ term $=a_{p}=a+(p-1) d=\frac{1}{q}$ ......$(1)$
$q^{ th }$ term $=a_{q}=a+(q-1) d=\frac{1}{p}$ ........$(2)$
Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1) d-(q-1) d=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$
$\Rightarrow(p-1-q+1) d=\frac{p-q}{p q}$
$\Rightarrow(p-q) d=\frac{p-q}{p q}$
$\Rightarrow d=\frac{1}{p q}$
Putting the value of $d$ in $(1),$ we obtain $a+(p-1) \frac{1}{p q}=\frac{1}{q}$
$\Rightarrow a=\frac{1}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{p q}=\frac{1}{p q}$
$\therefore {S_{pq}} = \frac{{pq}}{2}[2a + (pq - 1)d]$
$=\frac{p q}{2}\left[\frac{2}{p q}+(p q-1) \frac{1}{p q}\right]$
$=1+\frac{1}{2}(p q-1)$
$=\frac{1}{2} p q+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} p q+\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}(p q+1)$
Thus, the sum of first pq terms of the $A.P.$ is $=\frac{1}{2}(p q+1)$
જો કોઈ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $cn(n -1)$ , જ્યાં $c \neq 0$ , હોય તો આ પદોના વર્ગોનો સરવાળો મેળવો
સમાંતર શ્રેણીનું $r$ મું પદ $Tr$ છે. તેનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. જો કેટલાક ધન પૂર્ણાકો $m, n, m \neq n,$ માટે $T_m = 1/n$ અને $T_n = 1/m,$ હોય તો $a - d = …….$
જો $\frac{1}{{b\, + \,c}},\,\frac{1}{{c\, + \,a}},\,\frac{1}{{a\, + \,b}}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $a^2, b^2, c^2$ કઈ શ્રેણીમાં હશે ?
ધારો કે $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ સમાંતર શ્રેણીનાં પહેલા $\mathrm{n}$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. જો $\mathrm{S}_{20}=790$ અને $\mathrm{S}_{10}=145$ હોય, તો $\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5=$....................
જો શ્રેણી $\sqrt 3 + \sqrt {75} + \sqrt {243} + \sqrt {507} + ......$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $435\sqrt 3 $ થાય તો $n$ ની કિમત મેળવો.