એક સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ $\frac{1}{q}$ અને $q$ મું પદ $\frac{1}{p}$છે. $p \neq q$ માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદનો સરવાળો $\frac{1}{2}(p q+1)$ થાય. 

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is known that the general term of an $A.P.$ is $a_{n}=a+(n-1) d$

$\therefore$ According to the given information,

$p^{\text {th }}$ term $=a_{p}=a+(p-1) d=\frac{1}{q}$      ......$(1)$

$q^{ th }$ term $=a_{q}=a+(q-1) d=\frac{1}{p}$       ........$(2)$

Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain

$(p-1) d-(q-1) d=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$

$\Rightarrow(p-1-q+1) d=\frac{p-q}{p q}$

$\Rightarrow(p-q) d=\frac{p-q}{p q}$

$\Rightarrow d=\frac{1}{p q}$

Putting the value of $d$ in $(1),$ we obtain $a+(p-1) \frac{1}{p q}=\frac{1}{q}$

$\Rightarrow a=\frac{1}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{p q}=\frac{1}{p q}$

$\therefore {S_{pq}} = \frac{{pq}}{2}[2a + (pq - 1)d]$

$=\frac{p q}{2}\left[\frac{2}{p q}+(p q-1) \frac{1}{p q}\right]$

$=1+\frac{1}{2}(p q-1)$

$=\frac{1}{2} p q+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} p q+\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2}(p q+1)$

Thus, the sum of first pq terms of the $A.P.$ is $=\frac{1}{2}(p q+1)$

Similar Questions

સમાંતર શ્રેણી $4 + 9 + 14 +19 +.......$ ના $15$  માં પદની સંખ્યા......છે.

ધારો કે $S_n$ એ, સમાંતર શ્રેણી $3,7,11, \ldots . . .$. નાં $n$ પદોનો સરવાળો છે. જો $40<\left(\frac{6}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n S_k\right)<42$ હોય,તો $n=$___________. 

  • [JEE MAIN 2024]

જો  $a_1 , a_2, a_3, .... , a_n$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને જો $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$ ,તો પ્રથમ  $17$ પદનો સરવાળો મેળવો.

  • [JEE MAIN 2016]

સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $2n + 3n^2$ છે અને નવી સમાંતર શ્રેણી બનાવમાં આવે છે કે જેમાં પ્રથમ પદ સમાન હોય  અને સામાન્ય તફાવત બમણો હોય તો નવી શ્રેણીના $n$ પદનો સરવાળો મેળવો.

  • [JEE MAIN 2013]

જો $a_1, a_2, a_3 …………$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $a_1 + a_4 + a_7 + …………… + a_{16} = 114$, હોય તો  $a_1 + a_6 + a_{11} + a_{16}$ ની કિમંત મેળવો.

  • [JEE MAIN 2019]