एक $1\,m$ यथार्थ लम्बाई के तार के यंग नियतांक ज्ञात करने के प्रयोग में, जब एक $1\,kg$ द्रव्यमान का भार लगाया जाता है, तो तार की लम्बाई में $\pm 0.02\,mm$ की अनियतता के साथ $0.4\,mm$ की वृद्धि मापी जाती है। तार का व्यास $\pm 0.01\,mm$ की अनियतता के साथ $0.4\,mm$ मापा जाता है। यदि यंग नियतांक मापने में आयी त्रुटि $(\Delta Y )$ $x \times 10^{10} Nm ^{-2}$ है, तो $x$ का मान होगा। [माना $g =10\,m / s ^2$ ]

किसी सरल लोलक का आवर्त, $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है। $L$ का मापित मान $20.0\, cm$ है, जिसकी यथार्थता $1\, mm$ है। इस लोलक के $100$ दोलनों का समय $90\; s$ है, जिसे $1 \;s$ विभेदन की घड़ी से मापा गया है। तो $g$ के निर्धारण में यथार्थता ........... $\%$ होगी

गोले की त्रिज्या के मापन में त्रुटि $0.2\%$ है। इसके आयतन की गणना में त्रुटि  ......... $\%$ होगी

यदि सभी स्वतंत्र राशियों (independent quantities) की मापन न्रुटियाँ (measurement errors) ज्ञात हो, तो किसी निर्भर राशि (dependent quantity) की न्रुटि का परिकलन (calculation) किया जा सकता है। इस परिकलन में श्रेणी प्रसार (series expansion) का प्रयोग किया जाता है और इस प्रसार को न्रुटि (error) के पहले घात (first power) पर रून्डित (truncate) किया जाता है। उदाहरण स्वरूप, सम्बन्ध $z=x / y$ में यदि $x, y$ और $z$ की त्रुटियाँ क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हों, तो

$z \pm \Delta z=\frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y}=\frac{x}{y}\left(1 \pm \frac{\Delta x}{x}\right)\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1} .$

$\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1}$ का श्रेणी प्रसार, $\Delta y / y$ में पहले घात तक, $1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र राशियों की आपेक्षिक त्रुटियाँ (relative errors) सदैव जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ की त्रुटि होगी

$\Delta z=z\left(\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}\right) .$

उपरोक्त परिकलन में $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$ माने गये हैं। इसलिए इन राशियों की उच्चतर घातें (higher powers) उपेक्षित हैं।

($1$) एक विमा-रहित (dimensionless) राशि $a$ को माप कर, एक अनुपात (ratio) $r=\frac{(1-a)}{(1+a)}$ का परिकलन करना है। यदि $a$ की मापन की त्रुटि $\Delta a$ है ( $\Delta a / a \ll 1)$, तो $r$ के परिकलन की त्रुटि $\Delta r$ क्या होगी?

$(A)$ $\frac{\Delta a }{(1+ a )^2}$  $(B)$ $\frac{2 \Delta a }{(1+ a )^2}$  $(C)$ $\frac{2 \Delta a}{\left(1-a^2\right)}$  $(D)$ $\frac{2 a \Delta a}{\left(1-a^2\right)}$

($2$) एक प्रयोग के आरंभ में रेडियोएक्टिव नाभिकों की संख्या $3000$ है। प्रयोग के पहले $1.0$ सेकंड में $1000 \pm 40$ नाभिकों का क्षय हो जाता है। यदि $|x| \ll 1$ हो, तो $x$ के पहले घात तक $\ln (1+x)=x$ है। क्षयांक (decay constant) $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda, s^{-1}$ में, हैtion of the decay constant $\lambda$, in $s ^{-1}$, is

$(A) 0.04$  $(B) 0.03$  $(C) 0.02$  $(D) 0.01$

इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$

एक छात्र सूत्र $Y =\frac{ MgL ^{3}}{4 bd ^{3} \delta}$ का प्रयोग करके यंग प्रत्यास्थता गुणांक ज्ञात करता है। बिना सार्थक त्रुटि के $g$ का मान $9.8\, m / s ^{2}$ लिया जाता है तथा उसके प्रेक्षण निम्नलिखित हैं।

$Y$ के माप में भिन्नात्मक त्रुटि है?

एक पिण्ड का द्रव्यमान $22.42$ ग्राम तथा आयतन $4.7$ घन सेमी है। इसके मापन में $0.01$ ग्राम तथा $0.1$ घन सेमी की त्रुटि है, तो घनत्व में अधिकतम त्रुटि होगी