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एक वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + c = 0$ के समाक्षीय निकाय में, जहाँ $g$ एक प्राचल है, यदि $c > 0$, तब वृत्त हैं
लम्बवत्
स्पर्श करने वाले
प्रतिच्छेद करने वाले
प्रतिच्छेद नहीं करने वाले
Solution
(b) वृत्त का समीकरण $x_2 + y_2 + 2gx + c = 0$ है, जहाँ $c$ अचर तथा $g$ समाक्षीय निकाय का प्राचल है तथा $c > 0$.
हम जानते हैं, कि वृत्त का मानक समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है। दिये गये समीकरण की मानक समीकरण से तुलना करने पर केन्द्र $ \equiv ( – g,\,0)$ तथा त्रिज्या $\sqrt {{g^2} – c} $
अत: त्रिज्या शून्य होगी। जब ${g^2} – c = 0$ या $g = \pm \sqrt c $ अत: $(\sqrt c ,\,0)$ तथा $( – \sqrt c ,\,0)$ वृत्तों के समाक्षीय निकाय के सीमान्त बिन्दु हैं।
चूँकि $c > 0$ अत: $\sqrt c $ वास्तविक है तथा सीमांत बिन्दु वास्तविक तथा भिन्न-भिन्न हैं।
अत: समाक्षीय निकाय स्पर्श रूप का है।
