${(1 + x)^5}$ के विस्तार में पदों के गुणांकों का योगफल होगा

${(1 + x)^{15}}$ के प्रसार में अन्तिम आठ पदों के गुणांकों का योगफल है

$x$ की घातों में $\left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)^{6}$ के प्रसार में $x^{4}$ का गुणांक है .............

$(1+x)^{500}+x(1+x)^{499}+x^2(1+x)^{498}+\ldots . .+x^{500}$ में $\mathrm{x}^{301}$ का गुणांक है :

यदि $\left({ }^{30} \mathrm{C}_1\right)^2+2\left({ }^{30} \mathrm{C}_2\right)^2+3\left({ }^{30} \mathrm{C}_3\right)^2+\ldots \ldots .$. $30\left({ }^{30} \mathrm{C}_{30}\right)^2=\frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}$, है, तो $\alpha \cdot$ बराबर है :

माना $n$ और $k$ धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $n \ge \frac{{k(k + 1)}}{2}$. ${x_1} + {x_2} + .... + {x_k} = n$ को सन्तुष्ट करने वाले हलों $({x_1},{x_2},....{x_k})$, जहाँ ${x_1} \ge 1,{x_2} \ge 2,....{x_k} \ge k,$ तथा सभी पूर्णांक हैं, की संख्या है