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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
माना $a$ तथा $b$ क्रमशः, एक अतिपरवलय जिसकी उत्केंद्रता समीकरण $9 e^{2}-18 e+5=0$ को संतुष्ट करती है, के अर्धअनुप्रस्थ अक्ष तथा अर्धसंयुग्मी अक्ष हैं। यदि $S(5,0)$ इस अतिपरवलय की एक नाभि तथा $5 x=9$ संगत नियन्ता (directrix) है, तो $a^{2}-b^{2}$ बराबर है
A
$-7$
B
$-5$
C
$5$
D
$7$
(JEE MAIN-2016)
Solution
$S\left( {5,0} \right)\,$ is focus $ \Rightarrow ae = 5$ (focus) ……$(1)$
$x = \frac{a}{5} \Rightarrow \frac{a}{e} = \frac{9}{5}$ (directrix) …..$(2)$
$\left( 1 \right) \left( 2 \right) \Rightarrow {a^2} = 9$
$\left( 1 \right) \Rightarrow \left( e \right) = \frac{5}{3}$
${b^2} = {a^2}\left( {{e^2} – 1} \right) \Rightarrow {b^2} = 16$
${a^2} + {b^2} = 9 – 16 = – 7$
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