एक समकोणीय अतिपरवलय $(rectangular\,hyperbola)$ $x^2-y^2=a^2, a>0$, पर तीन बिन्दुएँ $A, B, C$ इस प्रकार ली गई हैं कि $A=(-a, 0) ; B$ एवं $C$ को $x$-अक्ष के सापेक्ष सममितिय $(symmetrically)$ तरीके से उस अतिपरवलय की ऐसी शाखा पर रखा जाता है जिसपर $A$ नहीं है। मान लीजिए कि त्रिभुज $A B C$ समबाहु है। यदि त्रिभुज $A B C$ की भुजा की लंबाई $k a$ है, तब $k$ निम्न अंतराल में होगा:

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की स्पर्श प्रत्येक निर्देशाक्ष से इकाई लम्बाई का अन्त: खण्ड काटता है, तो बिन्दु $(a, b)$ निम्न समकोणीय अतिपरवलय पर होगा 

यदि रेखा $L _1$ अतिपरवलय $\frac{ x ^2}{16}-\frac{ y ^2}{4}=1$ की स्पर्श रेखा है तथा रेखा $L _2$ मूलबिंदु से गुजरती हो व रेखा $L _1$ के लम्बवत् हो । यदि रेखा $L _1$ तथा $L _2$ के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ $\left( x ^2+ y ^2\right)^2=\alpha x ^2+\beta y ^2$ हो, तो $\alpha+\beta$ का मान होगा –

उस अतिपरवलय का समीकरण जिसकी उत्केन्द्रता $2$ तथा नाभियों के बीच की दूरी $8$ है, है

अतिपरवलय $5{x^2} – 9{y^2} = 45$की स्पर्श रेखा $y = x + 2$ का स्पर्श बिन्दु है