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माना $n$ प्रेक्षणों $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{ n }$ के माध्य बहुलक तथा प्रसरण क्रमश: $\bar{x}, M$ तथा $\sigma^{2}$ तथा $d _{ i }=-x_{ i }- a$, $i=1,2, \ldots, n$ हैं, जहाँ $a$ कोई संख्या हैं।
कथन $I$ : $d _{1}, d _{2}, \ldots, d _{ n }$ का प्रसरण $\sigma^{2}$ हैं
कथन $II$ : $d _{1}, d _{2}, \ldots, d _{ n }$ के माध्य तथा बहुलक क्रमाश: $-\bar{x}- a$ तथा $- M - a$ है
कथन $I$ तथा कथन $II$ दोनों असत्य हैं।
कथन $I$ तथा कथन $II$ दोनों सत्य हैं।
कथन $I$ सत्य है तथा कथन $II$ असत्य है।
कथन $I$ असत्य है तथा कथन $II$ सत्य है।
Solution
$\left( b \right)\,\,\bar x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + … + {x_n}}}{n}$
${\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} – \bar x} \right)}^2}} $
Mean of ${d_1},{d_2},{d_3},……,{d_n}$
$ = \frac{{{d_1} + {d_2} + {d_3} + …… + {d_n}}}{n}$
$ = \frac{{\left( { – {x_1} – a} \right) + \left( { – {x_2} – a} \right) + \left( { – {x_3} – a} \right) + ….. + \left( { – {x_n} – a} \right)}}{n}$
$ = – \left[ {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + … + {x_n}}}{n}} \right] – \frac{{na}}{n}$
$ = – \bar x – a$
Since, ${d_i} = – {x_i} – a$ and we multiply or subtract each observation by any number the mode remains the same. Hence mode of $ – {x_i} – a$ i.e. ${d_i}$ and ${x_i}$ are same.
Now variance of ${d_1},{d_2},……,{d_n}$
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ {{d_i} – \left( { – \bar x – a} \right)} \right]}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ { – {x_i} – a + \bar x – a} \right]}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( { – {x_i} + \bar x} \right)}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {\bar x – {x_i}} \right)}^2}} = {\sigma ^2}$
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माना बारंबारता बंटन
| $\mathrm{x}$ | $\mathrm{x}_{1}=2$ | $\mathrm{x}_{2}=6$ | $\mathrm{x}_{3}=8$ | $\mathrm{x}_{4}=9$ |
| $\mathrm{f}$ | $4$ | $4$ | $\alpha$ | $\beta$ |
के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $6$ तथा $6.8$ हैं। यदि $x _{3}$ को $8$ से $7$ कर दिया जाए, तो नये आँकड़ों का माध्य होगा
