मान लीजिए कि समुच्चय $A$ में धन पूर्णाकों के क्रमित युग्मों (ordered pairs)का एक संबंध $R ,(x, y) R (u, v),$ यदि और केवल यदि, $x v=y u$ द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।
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Clearly, $(x, y)$ $R (x, y)$, $\forall \,\,(x, y) \in A$, since $x y=y x .$ This shows that $R$ is reflexive. Further, $(x, y) R (u, v)$ $ \Rightarrow x v=y u$ $ \Rightarrow u y=v x$ and hence $(u, v) \,R (x, y) .$ This shows that $R$ is symmetric. Similarly, $(x, y) R (u, v)$ and $(u, v)$ $R$ $(a, b) \Rightarrow x v=y u$ and $u b=v a \Rightarrow $ $x v \frac{a}{u}=y u \frac{a}{u} $ $\Rightarrow x v \frac{b}{v}=$ $y u \frac{a}{u} \Rightarrow $ $x b=y a$ and hence $(x, y) \,R (a, b) .$ Thus, $R$ is transitive. Thus, $R$ is an equivalence relation.
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माना $ N $ प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है तथा $N \times N$ पर संबंध $R, (a, b) R (c, d) $ द्वारा परिभाषित है, यदि $ad(b + c) = bc(a + d)$ है, तब $R$ है
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माना $R$ एक संक्रमक संबंध, समुच्चय $A $ पर है तथा $ I, A$ पर एक तत्समक संबंध है, तब
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संबंध $R$ जो कि समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\} $ पर $ R = \{(x, y) :$ $|{x^2} - {y^2}| < 16\} $ के द्वारा परिभाषित है तब $R$ है
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निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
समस्त पूणांकों के समुच्चय $Z$ में $R =\{(x, y): x-y$ एक पूर्णाक है $\}$ द्वरा परिभाषित स्यंषंध $R.$
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सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में $R =\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ द्वारा प्रद्त संबंध स्वतुल्य है, परंतु न तो सममित है और न संक्रामक है।
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