किसी गुणोत्तर श्रेणी में $S , n$ पदों का योग, $P$ उनका गुणनफल तथा $R$ उनके व्युत्क्रमों का योग हो तो सिद्ध कीजिए कि $P ^{2} R ^{n}= S ^{n}$.
Let the $G.P.$ be $a, a r, a r^{2}, a r^{3} \ldots . . a r^{n-1}$
According to the given information,
$S=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
$P=a^{n} \times r^{1+2+\ldots+n-1}$
$=a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ [ $\because $ Sum of first $4n$ natural number is $n \frac{(n+1)}{2}$ ]
$R=\frac{1}{a}+\frac{1}{a r}+\ldots \ldots+\frac{1}{a r^{n-1}}$
$=\frac{r^{n-1}+r^{n-2}+\ldots . r+1}{a r^{n-1}}$
$=\frac{1\left(r^{n}-1\right)}{(r-1)} \times \frac{1}{a r^{n-1}}$ [ $\because $ $1, r, \ldots \ldots r^{n-1}$ forms a $G.P.$ ]
$=\frac{r^{n}-1}{a r^{n-1}(r-1)}$
$\therefore P^{2} R^{n}=a^{2 n} r^{n(n-1)} \frac{\left(r^{n}-1\right)^{n}}{a^{n} r^{n(n-1)}(r-1)^{n}}$
$=\frac{a^{n}\left(r^{n}-1\right)^{n}}{(r-1)^{n}}$
$=\left[\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{(r-1)}\right]^{n}$
$=S^{n}$
Hence, $P^{2} R^{n}=S^{n}$
यदि $a,b,c$ समान्तर श्रेणी में हों, तो ${2^{ax + 1}},{2^{bx + 1}},\,{2^{cx + 1}},x \ne 0$ होंगे
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के अनन्त पदों का योग $x$ है एवं पदों का वर्ग करने पर योग $y$ हो जाता है, तो श्रेणी का सार्व-अनुपात होगा
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ तथा $r$ वाँ पद क्रमश : $a, b$ तथा $c$ हो, तो सिद्ध कीजिए
कि $a^{q-r} b^{r-p} c^{P-q}=1$
$0.\mathop {234}\limits^{\,\,\, \bullet \,\, \bullet } $ का मान होगा
किसी गुणोत्तर श्रेणी का $5$ वाँ, $8$ वाँ तथा $11$ वाँ पद क्रमशः $p, q$ तथा $s$ हैं तो दिखाइए कि $q^{2}=p s$.