જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S$, ગુણાકાર $P$ અને પ્રથમ $n$ પદોનાં વ્યસ્ત પદોનો સરવાળો $R$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P ^{2} R ^{n}= S ^{n}$

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let the $G.P.$ be $a, a r, a r^{2}, a r^{3} \ldots . . a r^{n-1}$

According to the given information,

$S=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$P=a^{n} \times r^{1+2+\ldots+n-1}$

$=a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$               [ $\because $ Sum of first $4n$ natural number is $n \frac{(n+1)}{2}$ ]

$R=\frac{1}{a}+\frac{1}{a r}+\ldots \ldots+\frac{1}{a r^{n-1}}$

$=\frac{r^{n-1}+r^{n-2}+\ldots . r+1}{a r^{n-1}}$

$=\frac{1\left(r^{n}-1\right)}{(r-1)} \times \frac{1}{a r^{n-1}}$    [ $\because $ $1, r, \ldots \ldots r^{n-1}$ forms a $G.P.$ ]

$=\frac{r^{n}-1}{a r^{n-1}(r-1)}$

$\therefore P^{2} R^{n}=a^{2 n} r^{n(n-1)} \frac{\left(r^{n}-1\right)^{n}}{a^{n} r^{n(n-1)}(r-1)^{n}}$

$=\frac{a^{n}\left(r^{n}-1\right)^{n}}{(r-1)^{n}}$

$=\left[\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{(r-1)}\right]^{n}$

$=S^{n}$

Hence, $P^{2} R^{n}=S^{n}$

Similar Questions

ધારોકે $a_1, a_2, a_3, \ldots .$. વધતી ધન સંખ્યાઓ ની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.ધારોકે તેના છઠા અને $8$મા  પદોનો સરવાળો $2$ છે તથા તેના ત્રીજા અને $5$મા પદોનો ગુણાકાર $\frac{1}{9}$ છે.તો $6\left(a_2+a_4\right)\left(a_4+a_6\right)=.....$

  • [JEE MAIN 2023]

એક માણસને $2$ માતા-પિતા, $4$ દાદા-દાદી, $8$ વડદાદા-વડદાદી વગેરે છે તો તેની $10$ મી પેઢીએ રહેલ પૂર્વજોની સંખ્યા શોધો.

$x$ ની કઈ કિંમત માટે $\frac{2}{7}, x,-\frac{7}{2}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય ? 

$3$ અને $81$ વચ્ચે બે સંખ્યામાં ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય.

આપેલ $a_1,a_2,a_3.....$ એ વધતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે કે જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે તેના માટે જો $log_8a_1 + log_8a_2 +.....+ log_8a_{12} = 2014,$ હોય તો $(a_1, r)$ ની કિમત કેટલી જોડો મળે ?