यदि $a , b , c , d$ तथा $p$ कोई भी अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं, कि $\left( a ^{2}+ b ^{2}+ c ^{2}\right) p ^{2}-2( ab + bc + cd ) p +\left( b ^{2}+ c ^{2}\right.$ $\left.+ d ^{2}\right)=0$, है, तो

श्रेणी $1 + \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{8}{{{x^3}}} + ....\infty $ का योग एक नियत संख्या है, तब

$1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2010}$ बहुपद $(polynomial)$ को विभाजन करने वाले $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}$ बहुपद के लिए अंतराल $[1005,2010]$ में कितनो प्राकृत संख्याएं $(natural\,numbers)$ हों गी?

माना ${a_n}$ धनात्मक संख्याओं की गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद है। माना $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ व $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $ इस प्रकार हैं कि $\alpha \ne \beta $, तो सार्वअनुपात है

एक व्यक्ति की दसवीं पीढ़ी तक पूर्वजों की संख्या कितनी होगी, जबकि उसके $2$ माता-पिता, $4$ दादा-दादी, $8$ पर दादा, पर दादी तथा आदि हैं।

गुणोत्तर श्रेणी के कुछ पदों का योग $315$ है, उसका प्रथम पद तथा सार्व अनुपात क्रमशः $5$ तथा $2$ हैं। अंतिम पद तथा पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।