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यदि $a , b , c , d$ तथा $p$ कोई भी अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं, कि $\left( a ^{2}+ b ^{2}+ c ^{2}\right) p ^{2}-2( ab + bc + cd ) p +\left( b ^{2}+ c ^{2}\right.$ $\left.+ d ^{2}\right)=0$, है, तो
$a , c , p$ समांतर श्रेढ़ी में हैं।
$a , c , p$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
$a, b, c, d$ समांतर श्रेढ़ी में हैं।
$a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
Solution
$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}+2(a b+b c+c d) p+b^{2}+c^{2}+d^{2}$
$=0$
$\Rightarrow\left(a^{2} p^{2}+2 a b p+b^{2}\right)+\left(b^{2} p^{2}+2 b c p+c^{2}\right)+$
$\left(c^{2} p^{2}+2 c d p+d^{2}\right)=0$
$\Rightarrow(a b+b)^{2}+(b p+c)^{2}+(c p+d)^{2}=0$
This is possible only when $a p+b=0$ and $b p+c=0$ and $c p+d=0$
$p =-\frac{ b }{ a }=-\frac{ c }{ b }=-\frac{ d }{ c }$
or $\frac{ b }{ a }=\frac{ c }{ b }=\frac{ d }{ c }$
$\therefore a , b , c , d$ are in $G . P$
