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माना $X _{1}, X _{2}, \ldots, X _{18}$ अठारह प्रेक्षण हैं, जिनके लिए $\sum_{ i =1}^{18}\left( X _{ i }-\alpha\right)=36$ तथा $\sum_{ i =1}^{18}\left( X _{ i }-\beta\right)^{2}=90$ हैं, जहाँ $\alpha$ तथा $\beta$ भिन्न वास्तविक संख्याऐं हैं। यदि इन प्रेक्षणों का मानक विचलन $1$ है, तो $|\alpha-\beta|$ का मान बराबर है
$4$
$2$
$3$
$5$
Solution
$\sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-\alpha\right)=36, \sum_{i=1}^{18}\left(x_{i}-\beta\right)^{2}=90$
$\Rightarrow \sum_{i=1}^{18} x_{i}=18(\alpha+2), \sum_{i=1}^{18} x_{i}^{2}-2 \beta \sum_{i=1}^{18} x_{i}+18 \beta^{2}=90$
Hence $\sum x _{ i }^{2}=90-18 \beta^{2}+36 \beta(\alpha+2)$
Given $\frac{\sum x _{ i }^{2}}{18}-\left(\frac{\sum x _{ i }}{18}\right)^{2}=1$
$\Rightarrow 90-18 \beta^{2}+36 \beta(\alpha+2)-18(\alpha+2)^{2}=18$
$\Rightarrow 5-\beta^{2}+2 \alpha \beta+4 \beta-\alpha^{2}-4 \alpha-4=1$
$\Rightarrow(\alpha-\beta)^{2}+4(\alpha-\beta)=0 \Rightarrow|\alpha-\beta|=0$ or $4$
As $\alpha$ and $\beta$ are distinct $|\alpha-\beta|=4$
